Фуксова модель

В математике фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как фактора верхней полуплоскости H по фуксовой группе . Такое представление допускает каждая гиперболическая риманова поверхность. Концепция названа в честь Лазаря Фукса .

Более точное определение

По теореме униформизации каждая риманова поверхность является эллиптической , параболической или гиперболической . Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность $R$ который не изоморфен ни сфере Римана (эллиптический случай), ни фактору комплексной плоскости по дискретной подгруппе (параболический случай), должен быть фактором гиперболической плоскости $\mathbb {H}$ подгруппой $\Gamma$ Действуя правильно, прерывисто и свободно .

В модели полуплоскости Пуанкаре для гиперболической плоскости группой биголоморфных преобразований является группа $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ действуя гомографиями , а теорема униформизации означает, что существует дискретная кручения без подгруппа $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ такая, что риманова поверхность $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ изоморфен $R$ . Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ называется фуксовой моделью для $R$ .

Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера

Позволять $R$ — замкнутая гиперболическая поверхность и пусть $\Gamma$ быть фуксовой группой так, что $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ является фуксовой моделью для $R$ . Позволять $A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\colon \rho {\text{ is faithful and discrete }}\}$ и наделить это множество топологией поточечной сходимости (иногда называемой «алгебраической сходимостью»). В данном конкретном случае эту топологию проще всего определить следующим образом: группа $\Gamma$ поскольку конечно порождена, она изоморфна фундаментальной группе $R$ . Позволять $g_{1},\ldots ,g_{r}$ быть генераторной установкой: тогда любой $\rho \in A(\Gamma )$ определяется элементами $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ и поэтому мы можем идентифицировать $A(\Gamma )$ с подмножеством $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}$ по карте $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$ . Затем мы даем ему топологию подпространства.

Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не имеет прямого отношения к теореме Дена – Нильсена ) тогда имеет следующее утверждение:

Для любого $\rho \in A(\Gamma )$ существует самогомеоморфизм ( фактически квазиконформное отображение ) $h$ верхней полуплоскости $\mathbb {H}$ такой, что $h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )$ для всех $\gamma \in \Gamma$ .

Доказательство очень простое: выберите гомеоморфизм $R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H}$ и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма дает квазиконформное отображение, поскольку $R$ компактен.

Этот результат можно рассматривать как эквивалентность двух моделей Тейхмюллера пространства $R$ : набор дискретных точных представлений фундаментальной группы $\pi _{1}(R)$ в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ сопряженность по модулю и множество отмеченных римановых поверхностей $(X,f)$ где $f\colon R\to X$ является квазиконформным гомеоморфизмом по модулю естественного отношения эквивалентности.