Параболическая геометрия (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии и изучении групп Ли параболическая геометрия — это однородное пространство G / P которое является фактором полупростой группы Ли G по параболической подгруппе P. , В более общем смысле, кривые аналоги параболической геометрии в этом смысле также называются параболической геометрией: любая геометрия, которая моделируется в таком пространстве посредством связи Картана .

Примеры

Проективное пространство P ^н это пример. Это однородное пространство PGL( n +1)/ H , где H — группа изотропии прямой. В этом геометрическом пространстве понятие прямой линии имеет смысл, но вдоль линий нет предпочтительного («аффинного») параметра. Искривленный аналог проективного пространства — это многообразие, в котором понятие геодезической имеет смысл, но для которого нет предпочтительных параметризаций на этих геодезических. Проективная связность — это соответствующая связность Картана, которая дает возможность описания проективной геометрии путем приклеивания копий проективного пространства к касательным пространствам базового многообразия. В общих чертах, проективная геометрия относится к изучению многообразий с такого рода связностью.

Другой пример — конформная сфера . Топологически это n -сфера, но на ней не определено понятие длины, а есть только угол между кривыми. Эквивалентно, эта геометрия описывается как класс эквивалентности римановых метрик на сфере (называемый конформным классом). Группа преобразований, сохраняющих углы на сфере, — это группа Лоренца O( n +1,1), поэтому S ^н знак равно О( п +1,1)/ п . В более широком смысле, конформная геометрия — это изучение многообразий с классом конформной эквивалентности римановых метрик, то есть многообразий, моделируемых на конформной сфере. Здесь соответствующая связность Картана является конформной связностью .

Другие примеры включают в себя:

• CR-геометрия , исследование многообразий, моделируемых на основе реальной гиперквадрики. $Q^{2(p+q)-1}=SU(p,q)/P\subseteq \mathbb {C} ^{p+q}$, где $P$ является стабилизатором изотропной линии (см. многообразие CR )
• контактная проективная геометрия, исследование многообразий, моделируемых по $SP(n)/P$ где $P$ это та подгруппа симплектической группы , стабилизирующая линию, порожденную первым стандартным базисным вектором в $\mathbb {R} ^{2n}$

Ссылки

• Чап, Андреас ; Словак, Ян (2009), Параболическая геометрия: предыстория и общая теория , AMS, ISBN  978-0-8218-2681-2
• Словак, Дж. Параболическая геометрия , конспекты исследовательских лекций, часть докторской диссертации, Университет Масарика, 1997, 70 стр., Препринт IGA 97/11 (Университет Аделаиды)