Группа Рудвалис

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Рудвалиса Ru представляет собой спорадическую простую группу порядка .

2 ¹⁴ · 3 ³ · 5 ³ · 7 · 13 · 29

= 145926144000

≈ 1 × 10 ¹¹.

История

Ru — одна из 26 спорадических групп, найденная Арунасом Рудвалисом ( 1973 , 1984 ) и построенная Джоном Х. Конвеем и Дэвидом Б. Уэльсом ( 1973 ). Его мультипликатор Шура имеет порядок 2, а внешняя группа автоморфизмов тривиальна.

В 1982 году Роберт Грисс показал, что Ру не может быть субчастным группы монстров . ^[1] Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .

Характеристики

Группа Рудвалиса действует как группа перестановок 3-го ранга на 4060 точках, причем одним стабилизатором точки является группа Ри. ²F ₄ (2), группа автоморфизмов группы Титса . Из этого представления следует сильно регулярный граф srg(4060, 2304, 1328, 1280). То есть каждая вершина имеет 2304 соседей и 1755 несоседей, любые две соседние вершины имеют 1328 общих соседей, а любые две несмежные — 1280 (Грисс 1998 , с. 125).

Его двойное накрытие действует на 28-мерной решетке над целыми гауссовыми числами . Решетка имеет 4×4060 минимальных векторов; если минимальные векторы идентифицируются всякий раз, когда один из них равен 1, i , –1 или –i раз другому, то 4060 классов эквивалентности можно отождествить с точками представления перестановок ранга 3. Сокращение этой решетки по модулю главного идеала

(1+i)\

дает действие группы Рудвалиса на 28-мерном векторном пространстве над полем $\mathbb {F} _{2}$ с 2 элементами. Дункан (2006) использовал 28-мерную решетку для построения алгебры вершинных операторов, на которую действует двойное накрытие.

Альтернативно, двойное покрытие можно определить абстрактно, начав с графа и подняв Ru до 2Ru в двойном покрытии 2A ₄₀₆₀ . Это связано с тем, что 1 из классов сопряженности инволюций не фиксирует никаких точек. Такая инволюция разбивает 4060 точек графа на 2030 пар, что можно рассматривать как 1015 двойных транспозиций в знакопеременной группе А ₄₀₆₀ . Поскольку 1015 нечетно, эти инволюции поднимаются до порядка 4 элементов в двойном покрытии 2А ₄₀₆₀ . Дополнительную информацию см. в разделе Накрывающие группы знакопеременных и симметрических групп .

Пэрротт (1976) охарактеризовал группу Рудвалиса как централизатор центральной инволюции. Ашбахер и Смит (2004) дали еще одну характеристику в рамках своей идентификации группы Рудвалиса как одной из квазитиновых групп .

Максимальные подгруппы

Уилсон (1984) нашел 15 классов сопряженности максимальных подгрупп Ru следующим образом:

²Ф ₄ (2) = ²Ф ₄ (2)'.2
2 ⁶.У ₃ (3).2
(2 ² × Вт(8)):3
2 ³⁺⁸:Л ₃ (2)
Ю ₃ (5):2
2 ¹⁺⁴⁺⁶.С ₅
ПСЛ ₂ (25).2 ²
А ₈
ПСЛ ₂ (29)
5 ²:4.С ₅
3.А ₆ .2 ²
5 ¹⁺²:[2 ⁵]
Л ₂ (13):2
А _6,2 ²
5:4 х _А5

Ссылки

^ Грисс (1982)

Ашбахер, Майкл ; Смит, Стивен Д. (2004), Классификация квазитонких групп. I Структура сильно квазитонких K-групп , Математические обзоры и монографии, вып. 111, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3410-7 , МР 2097623
Конвей, Джон Х .; Уэльс, Дэвид Б. (1973), «Построение простой группы Рудвалиса порядка 145926144000», Journal of Algebra , 27 (3): 538–548, doi : 10.1016/0021-8693(73)90063-X
Джон Ф. Дункан (2008). «Самогон для спорадической группы Рудвалиса». arXiv : math/0609449v1 .
Грисс, Роберт Л. (1982), «Дружелюбный гигант» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 69 (1): 1–102, Бибкод : 1982InMat..69....1G , doi : 10.1007/BF01389186 , hdl : 2027.42/46608
Грисс, Роберт Л. (1998), Двенадцать спорадических групп , Springer-Verlag
Пэррот, Дэвид (1976), «Характеристика простой группы Рудвалиса», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 32 (1): 25–51, doi : 10.1112/plms/s3-32.1.25 , ISSN 0024 -6115 , МР 0390043
Рудвалис, Арунас (1973), "Новая простая группа порядка 2 ¹⁴ 3 ³ 5 ³ 7 13 29", Уведомления Американского математического общества (20): A–95.
Рудвалис, Арунас (1984), «Простая группа ранга 3 порядка 2¹⁴3³5³7.13.29. I», Journal of Algebra , 86 (1): 181–218, doi : 10.1016/0021-8693(84)90063-2 , ISSN 0021-8693 , МР 0727376
Рудвалис, Арунас (1984), «Простая группа G ранга 3 порядка 2¹⁴3³5³7.13.29. II. Характеры G и Ĝ», Journal of Algebra , 86 (1): 219–258, doi : 10.1016/0021-8693( 84)90064-4 , ISSN 0021-8693 , МР 0727377
Уилсон, Роберт А. (1984), «Геометрия и максимальные подгруппы простых групп А. Рудвалиса и Дж. Титса», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 48 (3): 533–563, doi : 10.1112/plms/s3-48.3.533 , ISSN 0024-6115 , MR 0735227

Внешние ссылки

[1] Грисс (1982)

[1]