Группа сисек

В теории групп , группа "Сиськи" ² F ₄ (2)′, названный в честь Жака Титса ( Французский: [tits] ) — конечная простая группа порядка .

   2 ¹¹  · 3 ³  · 5 ²  · 13 = 17,971,200.

Это единственная простая группа, которая является производной группы лиева типа , которая не является строго группой лиева типа ни в одной серии из-за исключительного изоморфизма . Иногда его считают 27-й спорадической группой .

История и свойства

Ри Группы ² Ф ₄ (2 ^{2н 1 +} ) были построены Ри (1961) , который показал, что они просты, если n ≥ 1. Первый член ² Ф ₄ (2) этой серии непростая. Ее изучил Жак Тит ( 1964 ), который показал, что она почти проста , ее производная подгруппа ² F ₄ (2)′ индекса 2 представляет собой новую простую группу, называемую теперь группой Титса. Группа ² F ₄ (2) является группой лиева типа и имеет BN-пару , но сама группа Титса не имеет BN-пары. Группа Титсов – члены бесконечной семьи ² Ф ₄ (2 ^{2н 1 +} )′ коммутантов групп Ри и, следовательно, по определению не является спорадическим. Но поскольку это также не является строго группой лиева типа, ее иногда рассматривают как 27-ю спорадическую группу .

Мультипликатор Шура группы Титса тривиален, а его внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, причем полной группой автоморфизмов является группа ² Ф ₄ (2).

Группа Титса является максимальной подгруппой группы Фишера Fi ₂₂ . Группа ² F ₄ (2) также встречается как максимальная подгруппа группы Рудвалиса , как точечный стабилизатор действия перестановки ранга 3 на 4060 = 1 + 1755 + 2304 точках.

Группа Титса — одна из простых N-групп , и она была упущена из виду в первом объявлении Джона Г. Томпсона о классификации простых N -групп, поскольку в то время она не была открыта. Это также одна из тонких конечных групп .

Группу Титса по-разному охарактеризовали Пэрротт ( 1972 , 1973 ) и Строт (1980) .

Максимальные подгруппы

Уилсон (1984) и Чакерян (1986) независимо нашли 8 классов максимальных подгрупп группы Титса следующим образом:

L ₃ (3):2 Два класса, слитые внешним автоморфизмом. Эти подгруппы фиксируют точки представлений перестановок ранга 4.

2.[2 ⁸ ].5.4 Центратор инволюции.

Л2 ₎ (25

2 ² .[2 ⁸ ].S ₃

А _6,2 ​ ² (Два класса, объединенных внешним автоморфизмом)

5 ² :4А ₄

Презентация

Группа Титса может быть определена в терминах генераторов и отношений следующим образом:

$a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=((ab)^{4}ab^{-1})^{6}=1,\,$

где [ a , b ] — коммутатор a ⁻¹ б ⁻¹ аб . Он имеет внешний автоморфизм , полученный отправкой ( a , b ) в ( a , b ( ba ) ⁵ б ( нет ) ⁵ ).

Ссылки

• Пэрротт, Дэвид (1972), «Характеристика простой группы Титса» , Canadian Journal of Mathematics , 24 (4): 672–685, doi : 10.4153/cjm-1972-063-0 , ISSN   0008-414X , MR   0325757
• Пэррот, Дэвид (1973), «Характеристика групп Ри ² F ₄ (q)», Journal of Algebra , 27 (2): 341–357, doi : 10.1016/0021-8693(73)90109-9 , ISSN   0021-8693 , MR   0347965
• Ри, Римхак (1961), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (F ₄ )» , Бюллетень Американского математического общества , 67 : 115–116, doi : 10.1090/S0002-9904-1961- 10527-2 , ISSN   0002-9904 , МР   0125155
• Строт, Гернот (1980), «Общая характеристика простой группы Титса», Journal of Algebra , 64 (1): 140–147, doi : 10.1016/0021-8693(80)90138-6 , ISSN   0021-8693 , МР   0575787
• Чакерян, Керопе Б. (1986), «Максимальные подгруппы простой группы Титса», Pliska Studia Mathematica Bulgarica , 8 : 85–93, ISSN   0204-9805 , MR   0866648
• Титс, Жак (1964), «Алгебраические и абстрактные простые группы», Annals of Mathematics , Second Series, 80 (2): 313–329, doi : 10.2307/1970394 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970394 , MR   0164968
• Уилсон, Роберт А. (1984), «Геометрия и максимальные подгруппы простых групп А. Рудвалиса и Дж. Титса», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 48 (3): 533–563, doi : 10.1112/plms/s3-48.3.533 , ISSN   0024-6115 , MR   0735227

Внешние ссылки

• АТЛАС представлений групп — Группа Титсов