N-группа (конечная теория групп)

Не путать с n-группой (теория категорий) .

В математической теории конечных групп N -группа — это группа, все локальные подгруппы которой (т. е. нормализаторы нетривиальных p -подгрупп) являются разрешимыми группами . Неразрешимые были классифицированы Томпсоном во время его работы по поиску всех минимальных конечных простых групп.

Простые N-группы

Простые N-группы были классифицированы Томпсоном ( 1968 , 1970 , 1971 , 1973 , 1974 , 1974b ) в серии из 6 статей общим объемом около 400 страниц.

Простые N-группы состоят из специальных линейных групп PSL ₂ ( q ), PSL ₃ (3), групп Сузуки Sz(2 ^{2н 1 +} ), унитарная группа U ₃ (3), знакопеременная группа A ₇ , группа Матье M ₁₁ и группа Титса . (Группа Титса была упущена из виду в первоначальном объявлении Томсона в 1968 году, но Хирн отметил, что это также простая N-группа.) В более общем плане Томпсон показал, что любая неразрешимая N-группа является подгруппой Aut( G ), содержащей G. для некоторой простой N-группы G .

Горенштейн и Лайонс (1976) обобщили теорему Томпсона на случай групп, в которых все 2-локальные подгруппы разрешимы. Единственными дополнительными простыми группами являются унитарные группы U ₃ ( q ).

Доказательство

Горенштейн (1980 , 16.5) дает краткое изложение классификации N-групп Томпсона.

Простые числа, разделяющие порядок группы, делятся на четыре класса π ₁ , π ₂ , π ₃ , π ₄ следующим образом:

• π ₁ — множество простых чисел p таких, что силовская p -подгруппа нетривиальна и циклична.
• π ₂ — это набор простых чисел p таких, что силовская p -подгруппа P нециклична, но SCN ₃ ( P ) пуста.
• π ₃ — множество простых чисел p таких, что силовская p -подгруппа P имеет SCN ₃ ( P ) непустую и нормализует нетривиальную абелеву подгруппу порядка, простого с p .
• π ₄ — множество простых чисел p такое, что силовская p -подгруппа P имеет SCN ₃ ( P ) непустую, но не нормализует нетривиальную абелеву подгруппу порядка, простого с p .

Доказательство подразделяется на несколько случаев в зависимости от того, к какому из этих четырех классов принадлежит простое число 2, а также от целого числа e , которое является наибольшим целым числом, для которого существует элементарная абелева подгруппа ранга e, нормализованная нетривиальной 2-подгруппой. пересекая его тривиально.

• Томпсон (1968) Дает общее введение, формулирует основную теорему и доказывает множество предварительных лемм.
• Томпсон (1970) характеризует группы E ₂ (3) и S ₄ (3) (в обозначениях Томпсона — это исключительная группа G ₂ (3) и симплектическая группа Sp ₄ (3)), которые являются не N-группами, а характеристики которых необходимы для доказательства основной теоремы.
• Томпсон (1971) рассматривает случай, когда 2∉π ₄ . Теорема 11.2 показывает, что если 2επ _2, то группа — это PSL ₂ ( q ), M ₁₁ , A ₇ , U ₃ (3) или PSL ₃ (3). Возможность того, что 2επ ₃ исключается, если показать, что любая такая группа должна быть C-группой, и использовать классификацию C-групп Сузуки, чтобы проверить, что ни одна из групп, найденных Судзуки, не удовлетворяет этому условию.
• Томпсон (1973) и Томпсон (1974) рассматривают случаи, когда 2επ ₄ и e ≥3 или e =2. Он показывает, что либо G является C-группой , то есть группой Сузуки, либо удовлетворяет его характеристикам групп E ₂ (3) и S ₄ (3) из его второй статьи, которые не являются N-группами.
• Томпсон (1974) рассматривает случай, когда 2επ ₄ и e =1, когда единственной возможностью является то, что G является C-группой или группой Титса .

Последствия

Минимальная простая группа — это нециклическая простая группа, все собственные подгруппы которой разрешимы. Полный список минимальных конечных простых групп задается следующим образом Томпсон (1968 , следствие 1):

• ПСЛ ₂ (2 ^п ), p простое число.
• ПСЛ ₂ (3 ^п ), p нечетное простое число.
• PSL ₂ ( p ), p > 3 простое число, соответствующее 2 или 3 по модулю 5
• Сз(2 ^п ), p нечетное простое число.
• ПСЛ ₃ (3)

Другими словами, нециклическая конечная простая группа должна иметь подфактор, изоморфный одной из этих групп.

Ссылки

• Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард (1976), «Неразрешимые конечные группы с разрешимыми 2-локальными подгруппами», Journal of Algebra , 38 (2): 453–522, doi : 10.1016/0021-8693(76)90233-7 , ISSN   0021-8693 , МР   0407128
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0301-6 , МР   0569209
• Томпсон, Джон Г. (1968), «Неразрешимые конечные группы, все локальные подгруппы которых разрешимы» , Бюллетень Американского математического общества , 74 (3): 383–437, doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11953- 6 , ISSN   0002-9904 , МР   0230809
• Томпсон, Джон Г. (1970), «Неразрешимые конечные группы, все локальные подгруппы которых разрешимы. II» , Pacific Journal of Mathematics , 33 (2): 451–536, doi : 10.2140/pjm.1970.33.451 , ISSN   0030 -8730 , МР   0276325
• Томпсон, Джон Г. (1971), «Неразрешимые конечные группы, все локальные подгруппы которых разрешимы. III» , Pacific Journal of Mathematics , 39 (2): 483–534, doi : 10.2140/pjm.1971.39.483 , ISSN   0030 -8730 , МР   0313378
• Томпсон, Джон Г. (1973), «Неразрешимые конечные группы, все локальные подгруппы которых разрешимы. IV» , Pacific Journal of Mathematics , 48 ​​(2): 511–592, doi : 10.2140/pjm.1973.48.511 , ISSN   0030 -8730 , МР   0369512
• Томпсон, Джон Г. (1974), «Неразрешимые конечные группы, все локальные подгруппы которых разрешимы. V» , Pacific Journal of Mathematics , 50 : 215–297, doi : 10.2140/pjm.1974.50.215 , ISSN   0030-8730 , МР   0369512
• Томпсон, Джон Г. (1974b), «Неразрешимые конечные группы, все локальные подгруппы которых разрешимы. VI» , Pacific Journal of Mathematics , 51 (2): 573–630, doi : 10.2140/pjm.1974.51.573 , ISSN   0030 -8730 , МР   0369512