Группы Сузуки

В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Сузуки , обозначаемые Sz(2 ^{2н 1 +}), ²Б2 ₂ ( ^{2н 1 +}), Суз(2 ^{2н 1 +}), или G (2 ^{2н 1 +}), образуют бесконечное семейство групп лиева типа, найденное Судзуки ( 1960 ), которые просты при n ≥ 1. Эти простые группы — единственные конечные неабелевы группы с порядками, не делящимися на 3.

Конструкции

Сузуки

Судзуки (1960) первоначально построил группы Сузуки как подгруппы SL ₄ ( F _{2 ^{2н 1 +}}), порожденный некоторыми явными матрицами.

Ри

Ри заметил, что группы Сузуки являются неподвижными точками исключительных автоморфизмов некоторых симплектических групп размерности 4, и использовал это для построения еще двух семейств простых групп, названных группами Ри . В самом нижнем случае симплектическая группа B ₂ (2) ≈ S ₆ ; его исключительный автоморфизм фиксирует подгруппу Sz(2) или ²Б ₂ (2), порядка 20.Оно ( 1962 ) подробно изложил наблюдения Ри.

Сиськи

Титс ( 1962 ) построил группы Сузуки как симметрии некоторого овоида в трехмерном проективном пространстве над полем характеристики 2.

Уилсон

Уилсон ( 2010 ) построил группы Сузуки как подгруппу симплектической группы в 4 измерениях, сохраняющую определенное произведение на парах ортогональных векторов.

Характеристики

Пусть q = 2 ^{2н 1 +} и г = 2 ^н, где n — неотрицательное целое число.

Группы Сузуки Sz( q ) или ²B ₂ ( q ) просты при n ≥1. Группа Sz(2) разрешима и является группой Фробениуса порядка 20.

Группы Сузуки Sz( q ) имеют порядки q ²( q ²+1)( q −1). Эти группы имеют порядки, делящиеся на 5, но не на 3.

Мультипликатор Шура тривиален для n > 1, 4-группа Клейна для n = 1, т. е. Sz(8).

Внешняя группа автоморфизмов циклическая порядка 2 n +1, заданная автоморфизмами поля порядка q .

Группа Сузуки — это группы Цассенхауза, действующие на множествах размера (2 ^{2н 1 +}) ²+1 и имеют 4-мерные представления над полем с 2 ^{2н 1 +} элементы.

Группы Сузуки являются CN-группами : централизатор каждого нетривиального элемента нильпотентен .

Подгруппы

Когда n — положительное целое число, Sz( q ) имеет не менее 4 типов максимальных подгрупп.

Диагональная подгруппа циклическая, порядка q – 1.

Нижнетреугольная (борелевская) подгруппа и ее сопряженные порядка q ²·( q -1). Они являются одноточечными стабилизаторами в дважды транзитивном перестановочном представлении Sz( q ).
Группа диэдра D _{q –1} , нормализатор диагональной подгруппы и сопряженные элементы.
С _{q +2 r +1} :4
C _{q –2 r +1} :4
Меньшие группы Сузуки, когда 2 n +1 составное.

Либо q +2 r +1, либо q –2 r +1 делится на 5, так что Sz( q ) содержит группу Фробениуса C ₅ :4.

Классы сопряженности

Судзуки ( 1960 ) показал, что группа Сузуки имеет q +3 класса сопряженности. Из них q +1 сильно вещественны, а два других являются классами элементов порядка 4.

д ²+1 Силовские 2-подгруппы порядка q ², индекса q –1 в своих нормализаторах. 1 класс элементов 2-го порядка, 2 класса элементов 4-го порядка.
д ²( q ²+1)/2 циклические подгруппы порядка q –1 индекса 2 в своих нормализаторах. Они учитывают ( q –2)/2 классы сопряженности нетривиальных элементов.
Циклические подгруппы порядка q +2 r +1 индекса 4 в своих нормализаторах. Они учитывают ( q +2 r )/4 классы сопряженности нетривиальных элементов.
Циклические подгруппы порядка q –2 r +1 индекса 4 в своих нормализаторах. Они учитывают ( q –2 r )/4 классы сопряженности нетривиальных элементов.

Нормализаторы всех этих подгрупп являются группами Фробениуса.

Персонажи

Судзуки (1960) показал, что группа Сузуки имеет q +3 неприводимых представления над комплексными числами, 2 из которых комплексные, а остальные действительные. Они даны следующим образом:

Тривиальный характер степени 1.
Стейнберга Представление степени q ², исходя из дважды транзитивного представления перестановок.
( q –2)/2 символа степени q ²+1
Два комплексных иероглифа степени r ( q –1), где r =2 ^н
( q +2 r )/4 символа степени ( q –2 r +1)( q –1)
( q –2 r )/4 символа степени ( q +2 r +1)( q –1).

Ссылки

Нуасер, Зиани (1982), «Символы и подгруппы групп Судзуки» , Диаграммы , 8 : ZN1–ZN29, ISSN 0224-3911 , MR 0780446
Оно, Такаши (1962), «Идентификация групп Сузуки с группами обобщенного лиева типа», Annals of Mathematics , Second Series, 75 (2): 251–259, doi : 10.2307/1970173 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970173 , МР 0132780
Судзуки, Мичио (1960), «Новый тип простых групп конечного порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 46 (6): 868–870, Бибкод : 1960PNAS... 46. .868S , doi : 10.1073/pnas.46.6.868 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 70960 , MR 0120283 , PMC 222949 , PMID 16590684
Судзуки, Мичио (1962), «Об одном классе дважды транзитивных групп», Annals of Mathematics , Second Series, 75 (1): 105–145, doi : 10.2307/1970423 , hdl : 2027/mdp.39015095249804 , ISSN 0003- 486X , JSTOR 1970423 , MR 0136646
Титс, Жак (1962), «Овоиды и группы Сузуки», Archiv der Mathematik , 13 : 187–198, doi : 10.1007/BF01650065 , ISSN 0003-9268 , MR 0140572 , S2CID 121482873
Уилсон, Роберт А. (2010), «Новый подход к группам Судзуки», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 148 (3): 425–428, doi : 10.1017/S0305004109990399 , ISSN 0305-0041 , MR 2609300 , S2CID 18046565

Внешние ссылки