Группа Зассенхаус
В математике группа Цассенхауза , названная в честь Ганса Цассенхауза , представляет собой определенный вид дважды транзитивной группы перестановок, очень тесно связанной с группами ранга 1 лиева типа .
Определение
[ редактировать ]Группа Цассенхауза — это группа перестановок G на конечном множестве X, обладающая следующими тремя свойствами:
- G дважды транзитивна.
- Нетривиальные элементы группы G фиксируют не более двух точек.
- G не имеет регулярной нормальной подгруппы . («Обычный» означает, что нетривиальные элементы не фиксируют ни одной точки X ; сравните свободное действие .)
Степень группы Цассенхауза — это количество элементов X .
Некоторые авторы опускают третье условие в G отсутствия регулярной нормальной подгруппы. Этот условие введено для исключения некоторых «вырожденных» случаев. Дополнительные примеры, которые можно получить, опуская его, — это либо группы Фробениуса , либо некоторые группы степени 2. п и заказать2 п (2 п − 1) p для простого числа p , порожденные всеми полулинейными отображениями и автоморфизмами Галуа поля порядка 2 п .
Примеры
[ редактировать ]Положим q = p ж — степень простого числа p и обозначать F q конечное поле порядка q . Судзуки доказал, что любая группа Цассенхауза принадлежит к одному из следующих четырех типов:
- Проективная специальная линейная группа PSL 2 ( F q ) для q > 3 нечетных, действующая в q + 1 точках проективной прямой. Он имеет порядок ( q + 1) q ( q − 1)/2.
- Проективная общая линейная группа PGL 2 ( F q ) при q > 3. Она имеет порядок ( q + 1) q ( q − 1).
- Некоторая группа, содержащая PSL 2 ( F q ) с индексом 2, для q нечетный квадрат. Он имеет порядок ( q + 1) q ( q − 1).
- Группа Сузуки Suz( F q ) для q - степени 2, равной не менее 8, а не квадратной. Порядок ( q 2 + 1) д 2 ( q - 1)
Степень этих групп равна q + 1 в первых трех случаях, q 2 +1 в последнем случае.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Конечные группы III (Серия «Основы математических наук», том 243) Б. Хупперта, Н. Блэкберна, ISBN 0-387-10633-2