Множественное транзитивное групповое действие

Группа $G$ действует 2-транзитивно на множестве $S$ если он действует транзитивно на множестве различных упорядоченных пар $\{(x,y)\in S\times S:x\neq y\}$. То есть, предполагая (без реальной потери общности), что $G$ действует слева от $S$, для каждой пары пар $(x,y),(w,z)\in S\times S$ с $x\neq y$ и $w\neq z$, существует $g\in G$ такой, что $g(x,y)=(w,z)$.

Действие группы является точно 2 -транзитивным, если таковое $g\in G$ является уникальным.

называется 2-транзитивной группой такая группа, что существует групповое действие, 2-транзитивное и точное. Аналогично мы можем точно определить 2 -транзитивную группу .

Эквивалентно, $gx=w$ и $gy=z$, поскольку индуцированное действие на отдельном множестве пар равно $g(x,y)=(gx,gy)$.

В целом определение работает, если k заменяет 2. Такие кратно транзитивные группы перестановок могут быть определены для любого натурального числа k . В частности, группа перестановок G, действующая на n точках, является k -транзитивной , если даны два набора точек a ₁ , ... a _k и b ₁ , ... b _k со свойством, что все a _i различны все и b i _i различны , существует групповой элемент g , в G отображает a _i в b _k для каждого i между 1 и который . Группы Матье являются важным примером.

Примеры

Каждая группа тривиально 1-транзитивна в силу своего действия на себя умножением слева.

Позволять $S_{n}$ — симметрическая группа, действующая на $\{1,...,n\}$, то действие резко n-транзитивно.

Группа n-мерных гомотетных переводов действует 2-транзитивно на $\mathbb {R} ^{n}$.

Группа n-мерных проективных преобразований почти действует точно (n+2)-транзитивно на n-мерном вещественном проективном пространстве. $\mathbb {RP} ^{n}$. Почти потому , что (n+2) точки должны находиться в общем линейном положении . Другими словами, n-мерные проективные преобразования действуют транзитивно в пространстве проективных реперов $\mathbb {RP} ^{n}$.

Классификации 2-транзитивных групп

Любая 2-транзитивная группа является примитивной группой , но не наоборот. Любая группа Цассенхауза 2-транзитивна, но не наоборот. Разрешимые Бертрамом 2-транзитивные группы были классифицированы Юппертом и описаны в списке транзитивных конечных линейных групп . Неразрешимые группы были классифицированы ( Геринг 1985 ) с использованием классификации конечных простых групп , и все они являются почти простыми группами .

См. также

• Умноженная транзитивная группа

Ссылки

• Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94599-6 , МР   1409812
• Геринг, Кристоф (1985), «Транзитивные линейные группы и линейные группы, которые содержат неприводимые подгруппы простого порядка. II», Journal of Algebra , 93 (1): 151–164, doi : 10.1016/0021-8693(85)90179- 6 , ISSN   0021-8693 , МР   0780488
• Юпперт, Бертрам (1957), «Дважды транзитивные разрешимые группы перестановок», Mathematical Journal , 68 : 126–150, doi : 10.1007/BF01160336 , ISSN   0025-5874 , MR   0094386
• Юпперт, Бертрам; Блэкберн, Норман (1982), Конечные группы. III. , Основы математических наук, вып. 243, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-10633-2 , МР   0650245
• Джонсон, Норман Л.; Джа, Викрам; Билиотти, Мауро (2007), Справочник по конечным плоскостям сдвига , Чистая и прикладная математика, том. 289, Бока-Ратон: Чепмен и Холл/CRC, ISBN  978-1-58488-605-1 , МР   2290291