Проекционная рамка

В математике , а точнее в проективной геометрии , проективная рамка или проективный базис — это набор точек в проективном пространстве , который можно использовать для определения однородных координат в этом пространстве. Точнее, в проективном пространстве размерности n проективная рамка представляет собой набор из n + 2 точек такой, что ни одна гиперплоскость не содержит n + 1 из них. Проективную систему координат иногда называют симплексом . хотя симплекс в пространстве размерности n имеет не более n + 1 вершин.

только проективные пространства над полем K В этой статье рассматриваются , хотя большинство результатов можно обобщить и на проективные пространства над телом .

Пусть P ( V ) — проективное пространство размерности n , где V — K -векторное пространство размерности n +1 . Позволять $p:V\setminus \{0\}\to \mathbf {P} (V)$ — каноническая проекция, которая отображает ненулевой вектор v в соответствующую точку P ( V ) , которая является векторной прямой, содержащей v .

Каждый кадр P ( V ) можно записать как $\left(p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n+1})\right),$ для некоторых векторов $e_{0},\dots ,e_{n+1}$ В. ​ ​Из определения следует существование ненулевых элементов K таких, что $\lambda _{0}e_{0}+\cdots +\lambda _{n+1}e_{n+1}=0$. Замена $e_{i}$ к $\lambda _{i}e_{i}$ для $i\leq n$ и $e_{n+1}$ к $-\lambda _{n+1}e_{n+1}$, получаем следующую характеристику кадра:

n + 2 точки из P ( V ) образуют фрейм тогда и только тогда, когда они являются образом p базиса V и суммы его элементов.

Более того, две базы таким образом определяют один и тот же фрейм тогда и только тогда, когда элементы второй являются произведениями элементов первой на фиксированный ненулевой элемент из K .

Поскольку гомографии P , отсюда следует, что для ( V ) индуцируются линейными эндоморфизмами V данных двух фреймов существует ровно одна гомография, отображающая первую на вторую. В частности, единственной гомографией, фиксирующей точки фрейма, является тождественная карта . Этот результат намного сложнее в синтетической геометрии (где проективные пространства определяются посредством аксиом). Ее иногда называют первой фундаментальной теоремой проективной геометрии .

Каждый кадр можно записать как $(p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n}),p(e_{0}+\cdots +e_{n})),$ где $(e_{0},\dots ,e_{n})$ основой В. является Проективными координатами или однородными координатами точки p ( v ) в этой системе отсчета являются координаты вектора v на базисе $(e_{0},\dots ,e_{n}).$ Если изменить векторы, представляющие точку p ( v ) и элементы системы координат, координаты умножаются на фиксированный ненулевой скаляр.

Обычно проективное пространство P _n ( K ) = P ( K ^{п +1} ) считается. Он имеет канонический фрейм, состоящий из образа p канонического базиса K ^{п +1} (состоящий из элементов, имеющих только одну ненулевую запись, равную 1) и (1, 1, ..., 1) . Исходя из этого, однородные координаты p ( v ) являются просто элементами (коэффициентами) v .

Учитывая другое проективное пространство P ( V ) той же размерности n и его фрейм F , существует ровно одна гомография h, отображающая F на канонический фрейм P ( K ^{п +1} ) . Проективные координаты точки a в системе F являются однородными координатами h ( a ) в канонической Pn _{системе} ( K ) .

В случае проективной прямой рамка состоит из трех различных точек. Если P ₁ ( K ) отождествляется с K с добавленной точкой на бесконечности ∞ , то его канонический репер равен (∞, 0, 1) . Для любого кадра ( a ₀ , a ₁ , a ₂ ) проективные координаты точки a ≠ a ₀ равны ( r , 1) , где r - двойное отношение ( a , a ₂ ; a ₁ , a ₀ ) . Если a = a ₀ , перекрестное отношение равно бесконечности, а проективные координаты равны (1,0) .

Ссылки

• Баер, Рейнхольд (2005). Линейная алгебра и проективная геометрия . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-44565-6 .
• Бергер, Марсель (2009). Геометрия И. Берлин, Гейдельберг: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-11658-5 .