Примитивная группа перестановок

В математике группа перестановок G, действующая на непустое конечное множество X, называется примитивной, если G действует транзитивно на X и единственными разбиениями, - действие которые сохраняет G , являются тривиальные разбиения либо на одно множество, либо на | Х | одиночные наборы. В противном случае, если G транзитивна и G сохраняет нетривиальное разбиение, G называется импримитивным .

Хотя примитивные группы перестановок транзитивны, не все транзитивные группы перестановок примитивны. Простейшим примером является группа четырех Клейна, действующая на вершинах квадрата, сохраняющая разбиение на диагонали. С другой стороны, если группа перестановок сохраняет только тривиальные разбиения, она транзитивна, за исключением случая, когда тривиальная группа действует на двухэлементном множестве. Это связано с тем, что для нетранзитивного действия либо орбиты G G образуют нетривиальное разбиение, сохраняемое , либо групповое действие тривиально, и в этом случае все нетривиальные разбиения X (которые существуют для | X | ≥ 3) сохраняются от Г.

Эта терминология была введена Эваристом Галуа в его последнем письме, в котором он использовал французский термин équation примитив для уравнения, группа Галуа которого примитивна. ^[1]

Характеристики

В том же письме, в котором он ввел термин «примитивный», Галуа сформулировал следующую теорему: ^[2]

Если G — примитивная разрешимая группа, действующая на конечном множестве X , то порядок X — это степень простого числа p . Кроме того, X можно отождествить с аффинным пространством над конечным полем с p элементами, а G действует на X как подгруппа аффинной группы .

Если множество X, котором действует G конечно, его мощность называется степенью G. на ,

Следствием этого результата Галуа является то, что если $p$ — нечетное простое число, то порядок разрешимой транзитивной группы степени $p$ является делителем $p(p-1).$ Фактически, каждая транзитивная группа простой степени примитивна (поскольку число элементов разбиения, фиксированного $G,$ должно быть делителем $p$ ), и $p(p-1)$ — мощность аффинной группы аффинного пространства с $p$ элементами.

Отсюда следует, что если $p$ — простое число, большее 3, симметрическая группа и знакопеременная группа степени $p$ неразрешимы, поскольку их порядок больше, чем $p(p-1).$ Из этого следует теорема Абеля–Руффини, а также тот факт, что существуют многочлены с симметричной группой Галуа.

Эквивалентное определение примитивности основано на том факте, что каждое транзитивное действие группы G изоморфно действию, возникающему в результате канонического действия G на множестве G / H смежных классов для H, подгруппы G . Действие группы примитивно, если оно изоморфно G / H для максимальной подгруппы H группы G , и импримитивно в противном случае (т. е. если существует собственная подгруппа K группы G, которой является H собственной подгруппой ). Эти примитивные действия являются примерами индуцированных представлений .

Численность примитивных групп малой степени была указана Робертом Кармайклом в 1937 году:

Степень	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	ОЭИС
Число	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	А000019

Существует большое количество примитивных групп 16-й степени. Как отмечает Кармайкл, ^{[ необходимы страницы ]} все эти группы, за исключением симметрической и знакопеременной группы, являются подгруппами аффинной группы в 4-мерном пространстве над 2-элементным конечным полем .

Примеры

Рассмотрим симметрическую группу $S_{3}$ играю на съемочной площадке $X=\{1,2,3\}$ и перестановка

\eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.

Оба $S_{3}$ и группа, созданная $\eta$ являются примитивными.

Теперь рассмотрим симметрическую группу $S_{4}$ играю на съемочной площадке $\{1,2,3,4\}$ и перестановка

\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.

Группа, созданная $\sigma$ не является примитивным, поскольку разбиение $(X_{1},X_{2})$ где $X_{1}=\{1,3\}$ и $X_{2}=\{2,4\}$ сохраняется под $\sigma$ , то есть $\sigma (X_{1})=X_{2}$ и $\sigma (X_{2})=X_{1}$ .

Любая транзитивная группа простой степени примитивна.
Симметричная группа $S_{n}$ играю на съемочной площадке $\{1,\ldots ,n\}$ примитивна для любого n и знакопеременной группы $A_{n}$ играю на съемочной площадке $\{1,\ldots ,n\}$ примитивен для любого n > 2.

См. также

Блок (теория группы перестановок)
Теорема Джордана (симметрическая группа)
Теорема О'Нэна – Скотта , классификация конечных примитивных групп на различные типы.

Ссылки

^ Последнее письмо Галуа: http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament
↑ Галуа использовал другую терминологию, поскольку большая часть терминологии в этом утверждении была введена позже, отчасти для разъяснения концепций, введенных Галуа.

Рони-Дугал, Колва М. Примитивные группы перестановок степени меньше 2500 , Журнал алгебры 292 (2005), вып. 1, 154–183.
Библиотека данных GAP «Примитивные группы перестановок» .
Кармайкл, Роберт Д., Введение в теорию групп конечного порядка. Джинн, Бостон, 1937 г. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1956 г.
Тодд Роуленд. «Примитивное групповое действие» . Математический мир .

[1] Последнее письмо Галуа: http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament

[2] Галуа использовал другую терминологию, поскольку большая часть терминологии в этом утверждении была введена позже, отчасти для разъяснения концепций, введенных Галуа.

[1]

[2]