Блок (теория группы перестановок)

В математике и теории групп системой действия группы которое G на называется множестве X , разбиение X является блочной G - инвариантным . В терминах соответствующего отношения эквивалентности на X что G -инвариантность означает,

x ~ y подразумевает gx ~ gy

для всех g ∈ G всех x , y ∈ X. и Действие G на X индуцирует естественное действие G на любую блочную систему для X .

Множество орбит -множества G X является примером блочной системы. Соответствующее отношение эквивалентности — это наименьшая G -инвариантная эквивалентность на X такая, что индуцированное действие на блочную систему тривиально.

Разбиение на одноэлементные множества является блочной системой, и если X непусто, то разбиение на одно множество X само по себе также является блочной системой (если X — одноэлементное множество, то эти два разбиения идентичны). Транзитивное если (и, следовательно, непустое) G -множество X называется примитивным, оно не имеет других блочных систем. Для непустого G -множества X требование транзитивности в предыдущем определении необходимо только в случае, когда | X |= 2 и действие группы тривиально.

Характеристика блоков

Каждый элемент некоторой блочной системы называется блоком . Блок можно охарактеризовать как непустое подмножество B множества X такое, что для всех g ∈ G либо

gB = B ( g фиксирует B ) или
gB ∩ B = ∅ ( g полностью перемещает B ).

Доказательство. Предположим, что B — блок, и для некоторого g ∈ G это gB ∩ B ≠ ∅. Тогда для некоторого x ∈ B это gx ~ x . Пусть y ∈ B , тогда x ~ y и из G -инвариантности следует, что gx ~ gy . Таким образом, ~ gy и , значит, gB ⊆ B. y Из условия gx ~ x также следует x ~ g ^{− 1}x , и тем же методом следует, что g ^{− 1}B ⊆ B и, следовательно, B ⊆ gB . В обратном направлении, если множество B удовлетворяет данному условию, то система { gB | g ∈ G } вместе с дополнением объединения этих множеств образует блочную систему, содержащую B .

В частности, если B — блок, то gB — блок для любого g ∈ G , а если G действует транзитивно на X , то множество { gB | g ∈ G — блочная система на X. }

Стабилизаторы блоков

Если B — блок, стабилизатор B — это подгруппа

г _B знак равно { г € G | ГБ = В }.

Стабилизатор блока содержит стабилизатор G _x каждого его элемента. Обратно, если x ∈ X и H — подгруппа группы G, содержащая G _x , то орбита H . x из x под H является блоком, содержащимся в орбите G . x и содержащий x .

Для любого x ∈ X блок B, содержащий x , и подгруппа H ⊆ G, G x _, — это G _B. содержащая Икс знак равно B ∩ г . х и GH _{. Икс знак} равно ЧАС .

Отсюда следует, что блоки, содержащие x и содержащиеся в G . x находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами G, содержащими G _x . В частности, если G -множество X транзитивно, то блоки, содержащие x, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами G, содержащими G _x . В этом случае G -множество X является примитивным тогда и только тогда, когда либо действие группы тривиально (тогда X = { x }), либо стабилизатор G _x является максимальной подгруппой G ( тогда стабилизаторами всех элементов X являются максимальные подгруппы группы G , сопряженные с G _x , поскольку G _gx = g ⋅ G _x ⋅ g ^{− 1}).

См. также

Отношение конгруэнтности