Список транзитивных конечных линейных групп

В математике , особенно в областях абстрактной алгебры и конечной геометрии , список транзитивных конечных линейных групп является важной классификацией некоторых высокосимметричных действий конечных групп на векторных пространствах .

Разрешимые Бертрамом конечные 2-транзитивные группы были классифицированы Юппертом . Классификация конечных простых групп позволила провести полную классификацию конечных двояко транзитивных групп подстановок . Это результат Кристофа Геринга . Конечная 2-транзитивная группа имеет цоколь , который является либо векторным пространством над конечным полем , либо неабелевой примитивной простой группой ; группы последнего типа являются почти простыми группами и описаны в другом месте. В этой статье представлен полный список конечных 2-транзитивных групп, цоколь которых элементарно абелев .

Позволять $p$ быть простым числом, и $G$ подгруппа полной линейной группы $GL(d,p)$ действуя транзитивно на ненулевые векторы d -мерного векторного пространства $(F_{p})^{d}$ над конечным полем $F_{p}$ с p- элементами.

Бесконечные классы

Существует четыре бесконечных класса конечных транзитивных линейных групп.

• $G\leq \Gamma {}L(1,p^{d});$
• $G\triangleright SL(a,q){\text{ and }}p^{d}=q^{a};$
• $G\triangleright Sp(2a,q){\text{ and }}p^{d}=q^{2a};$
• $G\triangleright G_{2}(q)',\ p^{d}=q^{6}{\text{ and }}p=2.$

что исключительную группу лиева типа G2 _{Заметим ,} ( q ) обычно строят как группы автоморфизмов расщепленных октонионов . Следовательно, она имеет естественное представление как подгруппа 7-мерной ортогональной группы O(7, q ). Если q четно, то лежащая в основе квадратичная форма поляризуется до вырожденной симплектической формы . Выбрасывая радикал, получаем изоморфизм между O(7, q ) и симплектической группой Sp(6, q ). Подгруппа Sp(6, q ), соответствующая G ₂ ( q )′, транзитивна.

Фактически, при q >2 группа G ₂ ( q ) = G ₂ ( q )′ проста. Если q =2, то G ₂ (2)′ ≅ PSU(3,3) является простым с индексом 2 в G ₂ (2).

Спорадические конечные транзитивные линейные группы

Эти группы обычно классифицируются по некоторой типичной нормальной подгруппе , эта нормальная подгруппа обозначается G ₀ и записывается в третьем столбце таблицы. Обозначение 2 ¹⁺⁴ ₋ обозначает экстраспециальную группу минус-типа порядка 32 (т.е. экстраспециальную группу порядка 32 с нечетным числом (а именно одним) кватернионного фактора).

Все спорадические транзитивные линейные группы, кроме одной, $G$ дать примитивную группу перестановок $p^{d}:G$ степени не более 2499. В программах компьютерной алгебры GAP и MAGMA доступ к этим группам осуществляется командой PrimitiveGroup(p^d,k); где число k представляет собой примитивную идентификацию $p^{d}:G$. Это число указано в последнем столбце следующей таблицы.

Семь из этих групп резко транзитивны; эти группы были найдены Гансом Зассенхаузом Цассенхауза и также известны как мультипликативные группы ближних полей . Эти группы отмечены в таблице звездочкой.

Состояние включено $p$	Состояние включено $d$	$G_{0}$	Примитивная идентификация $p^{d}:G$
$p=5$	$d=2$	$SL(2,3)$	15*, 18, 19
$p=7$	$d=2$	$SL(2,3)$	25*, 29
$p=11$	$d=2$	$SL(2,3)$	39*, 42
$p=23$	$d=2$	$SL(2,3)$	59*
$p=11$	$d=2$	$SL(2,5)$	56*, 57
$p=19$	$d=2$	$SL(2,5)$	86
$p=29$	$d=2$	$SL(2,5)$	106*, 110
$p=59$	$d=2$	$SL(2,5)$	84*
$p=2$	$d=4$	$A_{6}$	16, 17
$p=2$	$d=4$	$A_{7}$	20
$p=3$	$d=4$	$SL(2,5)$	124, 126, 127, 128
$p=3$	$d=4$	$2_{-}^{1+4}$	71, 90, 99, 129, 130
$p=2$	$d=6$	$PSU(3,3)$	62, 63
$p=3$	$d=6$	$SL(2,13)$	396

Этот список явно не содержится в статье Геринга. Много книг и в статьях дается список этих групп, некоторые из которых неполный. Например, книга Кэмерона пропускает группы в строке 11 таблицы, то есть содержащие $SL(2,5)$ как обычная подгруппа.