Представление (математика)
В математике представление — это очень общее отношение, которое выражает сходство (или эквивалентность) между математическими объектами или структурами . набор математических объектов Y Грубо говоря, можно сказать, что представляет другой набор объектов X при условии, что свойства и отношения, существующие между представляющими объектами y i , каким-то последовательным образом соответствуют свойствам и отношениям, существующим среди соответствующих представленных объектов x i. . Более конкретно, для данного набора Π свойств и отношений - Π представление некоторой структуры X — это структура Y , которая является образом X при гомоморфизме , сохраняющем Π . метки Представление иногда также применяется к самому гомоморфизму (например, групповому гомоморфизму в теории групп ). [1] [2]
Теория представлений [ править ]
Возможно, наиболее хорошо развитым примером этого общего понятия является подобласть абстрактной алгебры, называемая теорией представлений , которая изучает представление элементов алгебраических структур с помощью линейных преобразований векторных пространств . [2]
Другие примеры [ править ]
Хотя термин «теория представлений» хорошо известен в алгебраическом смысле, обсуждавшемся выше, в математике существует множество других применений термина «представление» .
Теория графов [ править ]
Активной областью теории графов является исследование изоморфизмов между графами и другими структурами.Ключевой класс таких проблем вытекает из того факта, что, как и в случае смежности в неориентированных графах , пересечение множеств(или, точнее, непересекаемость ) — симметричное отношение .Это приводит к изучению графов пересечений бесчисленных семейств множеств. [3] Одним из основополагающих результатов, полученных Полом Эрдешем и его коллегами, является то, что каждый n граф из вершин может быть представлен в терминах пересечения подмножеств набора размером не более n. 2 /4. [4]
Представление графа такими алгебраическими структурами, как его матрица смежности и матрица Лапласа, порождает область спектральной теории графов . [5]
Теория порядка [ править ]
К приведенному выше наблюдению о том, что каждый граф является графом пересечений, добавляется тот факт, что каждое частично упорядоченное множество (также известное как частично упорядоченное множество) изоморфно набору множеств, упорядоченных отношением включения (или включения) ⊆.Некоторые частично упорядоченные множества, которые возникают как порядки включения для естественных классов объектов, включают булевы решетки и порядки размерности n . [6]
Многие частичные порядки возникают из коллекций геометрических объектов (и, следовательно, могут быть представлены ими). Среди них — заказы n -ball . Порядки с 1 шаром — это порядки с интервальным содержанием, а порядки с 2 шарами — это так называемые круговые порядки — частично упорядоченные множества, представимые в терминах вмещения среди дисков на плоскости. Особенно хорошим результатом в этой области является характеристика плоских графов как тех графов, чьи отношения инцидентности вершина-ребро представляют собой порядки окружностей. [7]
Существуют также геометрические представления, не основанные на включении. Действительно, одним из наиболее изученных классов среди них являются интервальные порядки . [8] которые представляют частичный порядок в терминах того, что можно было бы назвать непересекающимся приоритетом интервалов на вещественной строке : каждый элемент x частичного набора представлен интервалом [ x 1 , x 2 ], так что для любых y и z в частичном наборе , y ниже z тогда и только тогда, когда y 2 < z 1 .
Логика [ править ]
В логике представимость алгебр как реляционных структур часто используется для доказательства эквивалентности алгебраической и реляционной семантики . Примеры этого включают представление Стоуна булевых алгебр как полей множеств , [9] Представление Эсакии алгебр Гейтинга как алгебр Гейтинга множеств, [10] и изучение представимых алгебр отношений и представимых цилиндрических алгебр . [11]
Полисемия [ править ]
При определенных обстоятельствах одна функция f : X → Y является сразу изоморфизмом нескольких математических структур X. на Поскольку каждую из этих структур можно интуитивно рассматривать как значение образа Y (одного из того, что Y пытается нам сказать), это явление называется полисемией — термин, заимствованный из лингвистики . Некоторые примеры полисемии включают в себя:
- полисемия пересечений — пары графов G1 такие , и G2 V на общем множестве вершин , которые могут быть одновременно представлены одним набором множеств , Sv что любые различные вершины u и w в V смежны в G1 , если и только если их соответствующие множества пересекаются ( S u ∩ S w ≠ Ø ) и смежны в G 2 тогда и только тогда, когда дополнения пересекаются ( S u С ∩ S ш С ≠ Ø). [12]
- полисемия конкуренции — мотивирована изучением экологических пищевых сетей , в которых пары видов могут иметь общую добычу или общих хищников. Пара графов G 1 и G 2 на одном множестве вершин является конкуренционно многозначной тогда и только тогда, когда существует единственный ориентированный граф D на том же множестве вершин, такой, что любые различные вершины u и v смежны в G 1, если и только если существует вершина w такая, что и uw , и vw являются дугами в D и смежны в G 2, тогда и только если существует вершина w такая, что и wu, и wv являются дугами в D . [13]
- интервальная полисемия — пары частично упорядоченных наборов P 1 и P 2 на общем основном множестве, которые могут быть одновременно представлены одним набором действительных интервалов, то есть представлением порядка интервалов P 1 и представлением содержания интервалов P 2 . [14]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Представление группы» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 декабря 2019 г.
- ^ Jump up to: а б Телеман, Константин. «Теория представлений» (PDF) . math.berkeley.edu . Проверено 7 декабря 2019 г.
- ^ Макки, Терри А.; МакМоррис, Франция (1999), Темы теории графов пересечений , Монографии SIAM по дискретной математике и ее приложениям, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, номер документа : 10.1137/1.9780898719802 , ISBN 978-0-89871-430-2 , МР 1672910
- ^ Эрдеш, Пол ; Гудман, AW; Поса, Луи (1966), «Представление графа посредством пересечений множеств», Canadian Journal of Mathematics , 18 (1): 106–112, CiteSeerX 10.1.1.210.6950 , doi : 10.4153/cjm-1966-014-3 , МР 0186575
- ^ Биггс, Норман (1994), Алгебраическая теория графов , Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-45897-9 , МР 1271140
- ^ Троттер, Уильям Т. (1992), Комбинаторика и частично упорядоченные множества: теория размерности , Серия Джона Хопкинса по математическим наукам, Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса, ISBN 978-0-8018-4425-6 , МР 1169299
- ^ Шайнерман, Эдвард (1991), «Заметки о плоских графах и порядках кругов», SIAM Journal on Discrete Mathematics , 4 (3): 448–451, doi : 10.1137/0404040 , MR 1105950
- ^ Фишберн, Питер К. (1985), Интервальные порядки и интервальные графики: исследование частично упорядоченных множеств , Серия Wiley-Interscience по дискретной математике, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-81284-5 , МР 0776781
- ^ Маршалл Х. Стоун (1936) « Теория представлений булевых алгебр », Труды Американского математического общества 40 : 37-111.
- ^ Эсакиа, Лео (1974). «Топологические модели Крипке». Советская математика . 15 (1): 147–151.
- ^ Хирш, Р.; Ходкинсон, И. (2002). Алгебра отношений по играм . Исследования по логике и основам математики. Том. 147. Эльзевир Наука.
- ^ Таненбаум, Пол Дж. (1999), «Представление пар графов с одновременным пересечением», Journal of Graph Theory , 32 (2): 171–190, doi : 10.1002/(SICI)1097-0118(199910)32:2< 171::AID-JGT7>3.0.CO;2-N , MR 1709659
- ^ Фишерманн, Миранка; Кнобен, Вернер; Кремер, Дирк; Раутенбах, Дитер (2004), «Конкуренция полисемии», Дискретная математика , 282 (1–3): 251–255, doi : 10.1016/j.disc.2003.11.014 , MR 2059526
- ^ Таненбаум, Пол Дж. (1996), «Одновременное представление интервалов и порядков, ограничивающих интервалы», Order , 13 (4): 339–350, CiteSeerX 10.1.1.53.8988 , doi : 10.1007/BF00405593 , MR 1452517 , S2CID 16904281