Двойственность Исакии
В математике — двойственность Эсакии это двойственная эквивалентность между категорией алгебр Гейтинга и категорией пространств Эсакии . Двойственность Эсакии обеспечивает порядково-топологическое представление алгебр Гейтинга через пространства Эсакии.
Обозначим через Esa категорию пространств Эсакии и морфизмов Эсакии .
Пусть H алгебра Гейтинга, X обозначает множество простых фильтров H H и ≤ обозначает теоретико-множественное включение на простых фильтрах — . Кроме того, для каждого a ∈ H пусть φ ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } и пусть τ обозначает топологию на X, порожденную { φ ( a ), X − φ ( a ) : a ∈ H }.
Теорема: [1] ( X , τ , ≤) — пространство Эсакии, называемое двойственным к H . Более того, φ алгебры Гейтинга является изоморфизмом из H на алгебру Гейтинга всех замкнутых открыто - расстроенных множеств ( X , τ ,≤) . Более того, каждое пространство Эсакии изоморфно в Esa двойственному Эсакии некоторой алгебре Гейтинга.
Это представление алгебр Гейтинга посредством пространств Эсакии является функториальным и дает двойственную эквивалентность между категориями
- HA гейтинговых алгебр и гомоморфизмов гейтинговых алгебр
и
- Эса пространств Эсакии и морфизмы Эсакии.
Теорема: [1] [2] [3] HA дважды эквивалентен Esa .
Двойственность также может быть выражена в терминах спектральных пространств , где говорится, что категория алгебр Гейтинга дуально эквивалентна. к категории гейтинговых пространств. [4]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Эсакиа, Лео (1974). «Топологические модели Крипке». Советская математика . 15 (1): 147–151.
- ^ Эсакиа, Л. (1985). «Гейтинговые алгебры I. Теория двойственности». Мецниереба, Тбилиси .
- ^ Бежанишвили, Н. (2006). Решетки промежуточной и цилиндрической модальной логики (PDF) . Амстердамский институт логики, языка и вычислений (ILLC). ISBN 978-90-5776-147-8 .
- ^ см. раздел 8.3 в * Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства . Новые математические монографии. Том. 35. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723 .