Теория двойственности дистрибутивных решеток

В математике обеспечивает теория двойственности дистрибутивных решеток три различных (но тесно связанных) представления ограниченных дистрибутивных решеток через пространства Пристли , спектральные пространства и попарные пространства Стоуна . Эта двойственность, которая изначально также принадлежит Маршаллу Х. Стоуну , обобщает известную двойственность Стоуна между пространствами Стоуна и булевыми алгебрами .

Пусть L — ограниченная дистрибутивная решетка, и X обозначает множество простых фильтров L пусть . Для каждого a ∈ L пусть φ ₊ ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } . Тогда ( X , τ ₊ ) — спектральное пространство, где топология τ ₊ на X порождается { φ ₊ ( a ) : a ∈ L } . Спектральное ( X , τ ₊ ) называется спектром L. пространство простым

Отображение + φ ₍ решеточным изоморфизмом из L на решетку всех компактных открытых подмножеств X ) , τ ₊ является . Фактически каждое спектральное пространство гомеоморфно простому спектру некоторой ограниченной дистрибутивной решетки.

Аналогично, если φ ₋ ( a ) = { x ∈ X : a ∉ x } и τ ₋ обозначает топологию, порожденную { φ ₋ ( a ) : a ∈ L } , то ( X , τ ₋ ) также является спектральным пространством. . Более того, ( X , τ ₊ , τ ₋ ) является попарным пространством Стоуна . Попарное пространство Стоуна ( X , τ ₊ , τ ₋ ) называется битопологическим двойственным L пространством . Каждое попарное пространство Стоуна бигомеоморфно битопологическому двойственному пространству некоторой ограниченной дистрибутивной решетки.

Наконец, пусть ≤ — теоретико-множественное включение на множестве простых фильтров L и пусть τ = τ ₊ ∨ τ ₋ . Тогда ( X , τ ,妻) — пространство Пристли . Более того, φ ₊ является решеточным изоморфизмом из L на решетку всех открыто-замкнутых up-множеств ( X , τ , 妻) . Пространство Пристли ( X , τ ,妻) называется двойственным к L . Каждое пространство Пристли изоморфно двойственному Пристли некоторой ограниченной дистрибутивной решетке.

Обозначим через Dist категорию ограниченных дистрибутивных решеток и ограниченных решеточных гомоморфизмов . Тогда три приведенных выше представления ограниченных дистрибутивных решеток можно расширить до дуальной эквивалентности между Dist и категориями Spec , PStone и Pries спектральных пространств со спектральными отображениями, попарных пространств Стоуна с двоякопрерывными отображениями и пространств Пристли с морфизмами Пристли соответственно:

Двойственность для ограниченных дистрибутивных решеток

Таким образом, существует три эквивалентных способа представления ограниченных дистрибутивных решеток. У каждого из них есть своя мотивация и преимущества, но в конечном итоге все они служат одной и той же цели — обеспечить лучшее понимание ограниченных распределительных решеток.

См. также

• Теорема о представлении
• Теорема Биркгофа о представлении
• Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр
• Каменная двойственность
• Двойственность Исакии

Ссылки

• Пристли, ХА (1970). Представление дистрибутивных решеток посредством упорядоченных пространств Стоуна. Бык. Лондонская математика. Соц. , (2) 186–190.
• Пристли, ХА (1972). Упорядоченные топологические пространства и представление дистрибутивных решеток. Учеб. Лондонская математика. Соц. , 24(3) 507–530.
• Стоун, М. (1938). Топологическое представление дистрибутивных решеток и брауэровских логик. Касопис Пешт. Мат. Фис., 67 1–25.
• Корниш, штат Вашингтон (1975). О двойственной Г. Пристли категории ограниченных дистрибутивных решеток. Мат. Весник , 12(27)(4) 329–332.
• М. Хохстер (1969). Первичная идеальная структура в коммутативных кольцах. Пер. амер. Математика. Соц. , 142 43–60
• Джонстон, ПТ (1982). Каменные просторы . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN   0-521-23893-5 .
• Юнг А. и Мошир М.А. (2006). О битопологической природе двойственности Стоуна. Технический отчет CSR-06-13 , Школа компьютерных наук, Университет Бирмингема.
• Бежанишвили Г., Бежанишвили Н., Габелая Д., Курц А. (2010). Битопологическая двойственность дистрибутивных решеток и гейтинговых алгебр. Математические структуры в информатике , 20.
• Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства . Новые математические монографии. Том. 35. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781316543870 . ISBN  9781107146723 .