Каменная двойственность

В математике существует множество категориальных двойственностей между некоторыми категориями топологических пространств и категориями частично упорядоченных множеств . Сегодня эти дуальности обычно объединяются под названием двойственность Стоуна , поскольку они образуют естественное обобщение теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр . Эти концепции названы в честь Маршалла Стоуна . Двойственности каменного типа также обеспечивают основу для бессмысленной топологии и используются в теоретической информатике для изучения формальной семантики .

В этой статье приводятся указания на особые случаи двойственности Стоуна и подробно объясняется очень общий их случай.

Обзор дуальности каменного типа [ править ]

Вероятно, наиболее общая двойственность, которую классически называют «дуальностью Стоуна», - это двойственность между категорией Sob трезвых пространств с непрерывными функциями и категорией SFrm пространственных фреймов с соответствующими гомоморфизмами фреймов. Двойственная категория SFrm , — это категория пространственных локалей обозначаемая SLoc . Категориальная эквивалентность Sob SLoc и SLoc лежит в основе математической области бессмысленной топологии , посвященной изучению Loc которой является — категории всех локалей, полной подкатегорией . Задействованные конструкции характерны для такого рода двойственности и подробно описаны ниже.

Теперь можно легко получить ряд других двойственностей, ограничившись некоторыми специальными классами трезвых пространств:

Категория CohSp когерентных пространств (и когерентных отображений) эквивалентна категории CohLoc когерентных (или спектральных) локалей (и когерентных отображений) в предположении булевой теоремы о простых идеалах (фактически это утверждение эквивалентно тому предположению ). Значение этого результата обусловлено тем, что CohLoc , в свою очередь, двойственна категории DLat ₀₁ ограниченных дистрибутивных решеток . Следовательно, DLat ₀₁ двойственен CohSp — получается теорема Стоуна о представлении дистрибутивных решеток .
При дальнейшем ограничении когерентных пространств, являющихся Хаусдорфом , можно получить категорию Стоуна так называемых пространств Стоуна . На стороне DLat ₀₁ ограничение дает подкатегорию Bool булевых алгебр . Таким образом, получается теорема Стоуна о представлении булевых алгебр .
Представление Стоуна для дистрибутивных решеток можно расширить посредством эквивалентности когерентных пространств и пространств Пристли (упорядоченных топологических пространств, которые компактны и полностью порядково несвязны). Можно получить представление дистрибутивных решеток через упорядоченные топологии: теорема Пристли о представлении дистрибутивных решеток .

К этим основным дуальностям можно добавить множество других дуальностей каменного типа.

Двойственность трезвых пространств и пространственных локалей [ править ]

Решетка открытых множеств [ править ]

Отправной точкой теории является тот факт, что каждое топологическое пространство характеризуется набором точек X системой Ω( X ) открытых множеств элементов из X , т.е. подмножеством степеней множества X. и Известно, что Ω( X ) обладает некоторыми особыми свойствами: это полная решетка , внутри которой верхние и конечные нижние точки задаются объединениями множеств и пересечениями конечных множеств соответственно. Более того, он содержит как X , так и пустое множество . Поскольку вложение Ω( X ) в решетку степенного набора X сохраняет конечные нижние точки и произвольные верхние числа, Ω( X ) наследует следующий закон дистрибутивности:

x\wedge \bigvee S=\bigvee \{\,x\wedge s:s\in S\,\},

для каждого элемента (открытого множества) x и каждого подмножества S из Ω( X ). Следовательно, Ω( X ) — это не произвольная полная решетка, а полная алгебра Гейтинга (также называемая фреймом или локалем — различные имена в основном используются для различения нескольких категорий, которые имеют один и тот же класс объектов, но разные морфизмы: морфизмы фреймов, морфизмы локали и гомоморфизмы полных гейтинговых алгебр). Теперь возникает очевидный вопрос: в какой степени топологическое пространство характеризуется местом расположения открытых множеств?

Как уже намекалось выше, можно пойти еще дальше. Категория Top топологических пространств имеет в качестве морфизмов непрерывные функции, где функция f непрерывна, если прообраз f ⁻¹( O ) любого открытого множества в кодирования области f открыто в области определения f . Таким образом, любая непрерывная функция f из пространства X в пространство Y определяет обратное отображение f ⁻¹ из Ω( Y ) в Ω( X ). Кроме того, легко проверить, что f ⁻¹ (как и любое обратное отображение) сохраняет конечные пересечения и произвольные объединения и, следовательно, является морфизмом фреймов . Если мы определим Ω( f ) = f ⁻¹ тогда Ω становится контравариантным функтором из категории Top в категорию Frm фреймов и морфизмов фреймов. Используя инструменты теории категорий, задача нахождения характеризации топологических пространств в терминах их открытых решеток множеств эквивалентна нахождению функтора из Frm в Top с , сопряженного Ω.

Точки локали [ править ]

Цель этого раздела — определить функтор pt из Frm в Top , который в определенном смысле «инвертирует» операцию Ω, присваивая каждой локали L набор точек pt( L ) (отсюда и обозначение pt) с подходящим топология. Но как мы можем восстановить набор точек только из локали, если он не задан в виде решетки множеств? Разумеется, вообще нельзя ожидать, что pt сможет воспроизвести все исходные элементы топологического пространства только из его решетки открытых множеств - например, все множества с недискретной топологией дают (с точностью до изоморфизма) одну и ту же локаль, такую что информации о конкретном наборе больше нет. Однако все еще существует разумный метод получения «точек» из локали, который действительно дает пример центральной конструкции теорем двойственности Стоуна.

Давайте сначала посмотрим на точки топологического X. пространства Обычно возникает соблазн рассматривать точку X как элемент x множества X , но на самом деле существует более полезное описание для нашего текущего исследования. Любая точка x порождает непрерывную функцию p _x из одноэлементного топологического пространства 1 (все подмножества которого открыты) в пространство X путем определения p _x (1) = x . И наоборот, любая функция от 1 до X четко определяет одну точку: элемент, на который она «указывает». Следовательно, множество точек топологического пространства эквивалентно характеризуется как множество функций от 1 до X .

При использовании функтора Ω для перехода от Top к Frm все теоретико-множественные элементы пространства теряются, но – используя фундаментальную идею теории категорий – можно также работать с функциональными пространствами . Действительно, любая «точка» p _x : 1 → X в Top отображается в морфизм Ω( p _x ): Ω( X ) → Ω(1). Решетка открытого множества одноэлементного топологического пространства Ω(1) представляет собой (изоморфна) двухэлементную локаль 2 = { 0, 1 } с 0 < 1. После этих наблюдений кажется разумным определить множество точек локали L — это набор морфизмов реперов из L в 2. Тем не менее, нет никакой гарантии, что каждая точка локали Ω( X ) находится во взаимно однозначном соответствии с точкой топологического пространства X (рассмотрим снова недискретная топология, для которой решетка открытого множества имеет только одну «точку»).

Прежде чем определять требуемую топологию на pt( X ), стоит уточнить понятие точки локали. Мотивированная выше точка зрения предполагает рассматривать точку локали L как морфизм фрейма p из L в 2. Но эти морфизмы эквивалентно характеризуются прообразами двух элементов из 2. Из свойств морфизмов фреймов можно вывести что п ⁻¹ 0) — нижнее множество (поскольку p монотонно ( ), содержащее наибольший элемент a _p = V p ⁻¹(0) (поскольку p сохраняет произвольные верхние точки). Кроме того, главный идеал p ⁻¹(0) является простым идеалом , поскольку p сохраняет конечные нижние части и, следовательно, главный элемент a _p является взаимно-простым элементом . Теперь множество, обратное p ⁻¹(0) задано p ⁻¹(1) является вполне простым фильтром , поскольку p ⁻¹(0) — главный простой идеал. Оказывается, все эти описания однозначно определяют исходный морфизм фрейма. Подводим итоги:

Точка локали L эквивалентно описывается как:

морфизм репера из L в 2
главный простой идеал L
встреча-простой элемент L
вполне простой фильтр L .

Все эти описания имеют свое место в теории, и между ними удобно переключаться по мере необходимости.

Функтор pt [ править ]

Теперь, когда для любой локали доступен набор точек, осталось снабдить этот набор подходящей топологией, чтобы определить объектную часть функтора pt. Это делается путем определения открытых множеств pt( L ) как

φ( а ) знак равно { п ∈ pt( L ) | п ( а ) = 1 },

для каждого элемента a из L . Здесь мы рассматривали точки L как морфизмы, но можно, конечно, дать аналогичное определение и для всех остальных эквивалентных характеризаций. Можно показать, что полагая Ω(pt( L )) = {φ( a ) | a ∈ L } действительно дает топологическое пространство (pt( L ), Ω(pt( L ))). Это пространство принято сокращать как pt( L ).

Наконец, pt можно определить на морфизмах Frm довольно канонически, определив для морфизма репера g из L в M pt( g ): pt( M ) → pt( L ) как pt( g )( p ) = p o g . Другими словами, мы получаем морфизм из L в 2 (точку L ), применяя морфизм g для перехода из L в M перед применением морфизма p , который отображает из M в 2. Опять же, это можно формализовать, используя другие описания. точек локали — например, просто вычислить ( p o g ) ⁻¹(0).

Присоединение Top и Loc [ править ]

Как отмечалось несколько раз ранее, pt и Ω обычно не являются обратными. В общем случае ни X не гомеоморфен pt(Ω( X )) и L не порядково-изоморфен Ω(pt( L )). Однако при описании топологии pt( L отображение φ из L в Ω(pt( L ) выше было применено )). Это отображение действительно является морфизмом репера. И наоборот, мы можем определить непрерывную функцию ψ от X до pt(Ω( X )), установив ψ( x ) = Ω( p _x ), где p _x — это просто характеристическая функция для точки x от 1 до X , как описано выше. Другое удобное описание дается рассмотрением точек локали как элементов соответствия. В этом случае мы имеем ψ( x ) = X \ Cl{ x }, где Cl { x } обозначает топологическое замыкание множества { x }, а \ — это просто разность множеств.

К этому моменту у нас уже более чем достаточно данных для получения желаемого результата: функторы Ω и pt определяют примыкание между категориями Top и Loc = Frm. ^на, где pt правосопряжён к Ω и естественные преобразования ψ и φ ^на укажите требуемую единицу и число соответственно.

Теорема двойственности [ править ]

Вышеупомянутое присоединение не является эквивалентностью категорий Top и Loc (или, что то же самое, двойственностью Top и Frm ). Для этого необходимо, чтобы и ψ, и φ были изоморфизмами в своих категориях.

Для пространства X ψ: X → pt(Ω( X )) является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно биективно . Используя характеристику с помощью элементов решетки открытого множества, встречающихся в простых числах, можно видеть, что это имеет место тогда и только тогда, когда каждое открытое множество, встречающееся в простых числах, имеет форму X \ Cl{ x } для уникального x . Альтернативно, каждое замкнутое множество с простым соединением является замыканием единственной точки, где «простое соединение» можно заменить на неприводимое (соединение-), поскольку мы находимся в дистрибутивной решетке. Помещения, обладающие этим свойством, называются трезвыми .

И наоборот, для локали L φ: L → Ω(pt( L )) всегда сюръективно. Кроме того, он является инъективным тогда и только тогда, когда любые два элемента a и b из L, для которых a не меньше или равно b, могут быть формально разделены точками локали:

если не a ≤ b , то существует точка p в pt( L ) такая, что p( a ) = 1 и p( b ) = 0.

Если это условие удовлетворяется для всех элементов локали, то локаль является пространственной или имеет достаточное количество точек. (См. также четко обозначенную категорию аналогичного состояния в более общих категориях.)

Наконец, можно убедиться, что для любого пространства X Ω( X ) пространственна и для каждой локали L pt( L ) является трезвой. Отсюда следует, что указанное выше присоединение Top и Loc ограничивается эквивалентностью полных подкатегорий Sob трезвых пространств и SLoc пространственных локалей. Этот основной результат дополняется наблюдением, что для функтора pt o Ω направление каждого пространства в точки его решетки открытого множества слева сопряжено с функтором включения из Sob в Top . Для пространства X pt(Ω( X )) называется его отрезвлением . Случай функтора Ω o pt симметричен, но специальное название для этой операции обычно не используется.

Ссылки [ править ]

Стэнли Н. Беррис и HP Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры. Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-90578-2 . (доступно бесплатно на указанном веб-сайте)
П.Т. Джонстон , «Каменные пространства» , Кембриджские исследования по высшей математике 3, издательство Кембриджского университета , Кембридж, 1982. ISBN 0-521-23893-5 .
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7 . Збл 1034.18001 .
Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том. 5. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36062-5 . Збл 0668.54001 .
Абстрактная каменная двойственность
Карамелло, Оливия (2011). «Теоретико-топосный подход к двойственностям типа Стоуна». arXiv : 1103.3493 [ math.CT ].