Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

В математике , теорема Стоуна о представлении булевых алгебр что каждая булева алгебра изоморфна утверждает определенному полю множеств . Эта теорема имеет фундаментальное значение для более глубокого понимания булевой алгебры , возникшей в первой половине 20 века. Теорема была впервые доказана Маршаллом Х. Стоуном . ^{[ 1 ]} К этому Стоуна привело исследование спектральной теории операторов пространстве в гильбертовом .

Каменные пространства

Каждая булева алгебра B имеет связанное с ней топологическое пространство , обозначаемое здесь S ( B ), называемое пространством Стоуна . Точки в S ( B ) являются ультрафильтрами на B или, что то же самое, гомоморфизмами из B в двухэлементную булеву алгебру . Топология на S ( B ) порождается базисом, состоящим из всех множеств вида $\{x\in S(B)\mid b\in x\},$ где b элемент B. — Эти множества также являются закрытыми и, следовательно, замкнуто-закрытыми (как закрытыми, так и открытыми). Это топология поточечной сходимости сетей гомоморфизмов в двухэлементную булеву алгебру.

Для всякой булевой алгебры S B ( B ) — компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство ; такие пространства называются пространствами Стоуна (также проконечными пространствами ). И наоборот, для любого топологического пространства X совокупность открыто-замкнутых подмножеств X является булевой алгеброй.

Теорема о представлении

Простая версия теоремы о представлении Стоуна утверждает, что каждая булева алгебра B изоморфна алгебре открыто-замкнутых подмножеств ее пространства Стоуна S ( B ). Изоморфизм отправляет элемент $b\in B$ множеству всех ультрафильтров, содержащих b . Это открыто-замкнутое множество из-за выбора топологии на S ( B ) и потому, что B — булева алгебра.

Переформулируя теорему, используя язык теории категорий ; теорема утверждает, что существует двойственность между категорией булевых алгебр и категорией пространств Стоуна. Эта двойственность означает, что помимо соответствия между булевыми алгебрами и их пространствами Стоуна, каждый гомоморфизм булевой алгебры A в булеву алгебру B естественным образом соответствует непрерывной функции из S ( B ) в S ( A ). Другими словами, существует контравариантный функтор , который дает эквивалентность между категориями. Это был ранний пример нетривиальной двойственности категорий.

Теорема представляет собой частный случай двойственности Стоуна , более общей основы двойственности между топологическими пространствами и частично упорядоченными множествами .

Для доказательства требуется либо аксиома выбора , либо ее ослабленная форма. В частности, эта теорема эквивалентна булевой теореме о простых идеалах — ослабленному принципу выбора, который утверждает, что каждая булева алгебра имеет простой идеал.

Распространение классической двойственности Стоуна на категорию булевых пространств (т. е. нульмерных локально компактных хаусдорфовых пространств) и непрерывных отображений (соответственно совершенных отображений) было получено Г. Д. Димовым (соответственно Г. П. Доктором). ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

См. также

Теорема Стоуна о представлении дистрибутивных решеток
Теорема о представлении - доказательство того, что каждая структура с определенными свойствами изоморфна другой структуре.
Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
Список тем по булевой алгебре
Стоуново пространство - топологическое пространство, в котором замыкание каждого открытого множества открыто.
Функтор Стоуна - Функтор в теории категорий
Проконечная группа - Топологическая группа, в определенном смысле собранная из системы конечных групп.
Лемма об ультрафильтре : страницы максимально правильного фильтра,

Цитаты

^ Стоун, Маршалл Х. (1936). «Теория представлений булевых алгебр» . Труды Американского математического общества . 40 (1): 37–111. дои : 10.2307/1989664 . JSTOR 1989664 .
^ Димов, Г.Д. (2012). «Некоторые обобщения теоремы двойственности Стоуна» . Опубл. Математика. Дебрецен . 80 (3–4): 255–293. дои : 10.5486/PMD.2012.4814 .
^ Доктор, HP (1964). «Категории булевых решеток, булевых колец и булевых пространств» . Канада. Математика. Бык. 7 (2): 245–252. дои : 10.4153/CMB-1964-022-6 . S2CID 124451802 .

Ссылки

Халмос, Пол ; Гивант, Стивен (1998). Логика как алгебра . Математические изложения Дольчиани. Том. 21. Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-327-2 .
Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные просторы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23893-5 .
Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (1981). Курс универсальной алгебры . Спрингер. ISBN 3-540-90578-2 .

[1] Стоун, Маршалл Х. (1936). «Теория представлений булевых алгебр» . Труды Американского математического общества . 40 (1): 37–111. дои : 10.2307/1989664 . JSTOR 1989664 .

[2] Димов, Г.Д. (2012). «Некоторые обобщения теоремы двойственности Стоуна» . Опубл. Математика. Дебрецен . 80 (3–4): 255–293. дои : 10.5486/PMD.2012.4814 .

[3] Доктор, HP (1964). «Категории булевых решеток, булевых колец и булевых пространств» . Канада. Математика. Бык. 7 (2): 245–252. дои : 10.4153/CMB-1964-022-6 . S2CID 124451802 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]