Функция сохранения предела (теория порядка)

В математической области теории порядка часто говорят о функциях, определенные сохраняющих пределы, т. е. определенные верхние или нижние точки . Грубо говоря, эти функции отображают верхнюю/нижнюю грань набора в верхнюю/нижнюю грань изображения этого набора. В зависимости от типа множеств, для которых функция удовлетворяет этому свойству, она может сохранять конечные, направленные, непустые или просто произвольные верхние или нижние точки. , существуют различные важные отношения Каждое из этих требований естественным образом и часто возникает во многих областях теории порядка, и между этими понятиями и другими понятиями, такими как монотонность . Если импликацию сохранения предела перевернуть, так что существование пределов в диапазоне функции подразумевает существование пределов в области определения, то можно получить функции, отражающие предел .

Целью данной статьи является уточнение определения этих основных понятий, что необходимо, поскольку литература не всегда последовательна в этом вопросе, и дать общие результаты и пояснения по этим вопросам.

Предыстория и мотивация

Во многих специализированных областях теории порядка ограничиваются классами частично упорядоченных множеств , полных относительно определенных предельных конструкций. Например, в теории решеток интересуют порядки, в которых все конечные непустые множества имеют как наименьшую верхнюю, так и наибольшую нижнюю границу. В теории предметной области , с другой стороны, основное внимание уделяется частично упорядоченным множествам, в которых каждое направленное подмножество имеет верхнюю грань. Полные решетки и порядки с наименьшим элементом («пустая супремум») дают дополнительные примеры.

Во всех этих случаях пределы играют центральную роль для теорий, подкрепляемые их интерпретациями в практических приложениях каждой дисциплины. Также интересно указать соответствующие отображения между такими порядками. С алгебраической точки зрения это означает, что требуется найти адекватные понятия гомоморфизмов рассматриваемых структур. Это достигается за счет рассмотрения тех функций, которые совместимы с конструкциями, характерными для соответствующих порядков. Например, решеточные гомоморфизмы - это те функции, которые сохраняют непустые конечные верхние и нижние точки, т.е. образ верхней/нижней границы двух элементов является просто супремумом/нижней гранью их изображений. В теории областей часто имеют дело с так называемыми непрерывными по Скотту функциями, сохраняющими все направленные супремамы.

Основу определений и терминологии, приведенных ниже, можно найти в теории категорий , где пределы (и копределы рассматриваются ) в более общем смысле. Категориальная концепция , сохраняющих и отражающих функторов предел , находится в полной гармонии с теорией порядка, поскольку порядки можно рассматривать как небольшие категории, определяемые как категории ЧУМ с определенной дополнительной структурой.

Формальное определение

Рассмотрим два частично упорядоченных множества и Q и функцию f от P до Q. P Более того, пусть S — подмножество P , имеющее наименьшую верхнюю границу s . Тогда f сохраняет верхнюю грань S , если множество f ( S ) = { f ( x ) | x в S } имеет наименьшую верхнюю границу в Q , равную f ( s ), т.е.

ж (суп S ) знак равно суп ж ( S )

Это определение состоит из двух требований: верхняя грань множества f ( S ) существует и равна f ( s ). Это соответствует упомянутой выше параллели с теорией категорий, но не всегда требуется в литературе. Фактически, в некоторых случаях определение ослабляется, требуя, чтобы только существующие верхние значения были равны f ( s ). Однако Arc.Ask3.Ru работает с общим понятием, приведенным выше, и при необходимости явно указывает другое условие.

Из фундаментального определения, данного выше, можно вывести широкий спектр полезных свойств. Говорят, что функция f между частично упорядоченными множествами P и Q сохраняет конечные, непустые, направленные или произвольные супремумы, если она сохраняет супремы всех конечных, непустых, направленных или произвольных множеств соответственно. Сохранение непустых конечных супремумов также может быть определено тождеством f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y ), справедливым для всех элементов x и y , где мы предполагаем v как полную функцию на оба заказа.

Двойным способом определяются свойства сохранения инфимы.

Условие, «противоположное» сохранению пределов, называется отражением. Рассмотрим функцию f, указано выше, и подмножество S из P , такое что sup f ( S ) существует в Q и равно f ( s ) для некоторого элемента s из P. как Тогда f отражает верхнюю границу S , если sup S существует и равен s . Как уже было показано для сохранения, можно получить множество дополнительных свойств, рассматривая определенные классы множеств S и дуализируя определение до инфимы.

Особые случаи

Некоторые частные случаи или свойства, вытекающие из приведенной выше схемы, известны под другими названиями или имеют особое значение для некоторых областей теории порядка. Например, функции, сохраняющие пустую верхнюю грань, — это функции, сохраняющие наименьший элемент. Более того, из-за мотивации, объясненной ранее, многие функции, сохраняющие предел, появляются как специальные гомоморфизмы для определенных структур порядка. Ниже приведены некоторые другие известные случаи.

Сохранение всех ограничений

Интересная ситуация возникает, если функция сохраняет все верхние (или нижние) значения. Точнее, это выражается в том, что функция сохраняет все существующие верхние и нижние точки, и вполне возможно, что рассматриваемые ЧУМ не являются полными решетками. Например, (монотонные) связности Галуа этим свойством обладают . И наоборот, согласно теоретической теореме о присоединенном функторе , отображения, которые сохраняют все верхние и нижние точки, могут гарантированно быть частью уникального соединения Галуа, если соблюдаются некоторые дополнительные требования.

Дистрибутивность

Решетка x L является дистрибутивной , если для всех , y и z в L мы находим

$x\wedge \left(y\vee z\right)=\left(x\wedge y\right)\vee \left(x\wedge z\right)$

Но это всего лишь говорит о том, что функция встречи ^: L -> L сохраняет двоичные верхние числа . В теории решеток известно, что это условие эквивалентно двойственному ему, т. е. функции v: L -> L, сохраняющей бинарные инфимы. Аналогичным образом видно, что закон бесконечной дистрибутивности

$x\wedge \bigvee S=\bigvee \left\{x\wedge s\mid s\in S\right\}$

полных алгебр Гейтинга (см. также бессмысленную топологию ) эквивалентна функции встречи ^, сохраняющей произвольные супремумы. Это условие, однако, не означает его двойственности.

Скотт-непрерывность

Функции, сохраняющие направленные супремумы, называются непрерывными по Скотту или иногда просто непрерывными , если это не вызывает путаницы с соответствующим понятием анализа и топологии . Подобное использование термина «непрерывный» для обозначения сохранения пределов можно также найти в теории категорий.

Важные свойства и результаты

Приведенное выше определение сохранения предела является довольно строгим. Действительно, каждая функция, сохраняющая хотя бы верхние или нижние точки двухэлементных цепочек, т. е. множеств двух сравнимых элементов, обязательно монотонна. Следовательно, все указанные выше особые свойства сохранения вызывают монотонность.

На основании того, что одни пределы могут быть выражены через другие, можно вывести связи между свойствами сохранности.Например, функция f сохраняет направленные максимумы тогда и только тогда, когда она сохраняет супремумы всех идеалов.Более того, отображение f из частично упорядоченного множества, в котором существует каждая непустая конечная верхняя грань (так называемая супремума), сохраняет произвольные супремумы тогда и только тогда, когда оно сохраняет как направленные, так и конечные (возможно, пустые) супремумы.

Однако неверно, что функция, сохраняющая все верхние числа, также сохранит все младшие, или наоборот.