Бессмысленная топология

В математике бесточечная топология , также называемая бесточечной топологией (или бесточечной топологией ) и теорией локали , представляет собой подход к топологии, который избегает упоминания точек и в котором решетки открытых множеств являются примитивными понятиями. При таком подходе становится возможным строить топологически интересные пространства из чисто алгебраических данных.

История

Первые подходы к топологии были геометрическими, когда каждый начинал с евклидова пространства и соединял все вместе. Но Маршалла Стоуна работа о двойственности Стоуна в 1930-х годах показала, что топологию можно рассматривать с алгебраической точки зрения (теоретико-решеточной). Помимо Стоуна, Генри Уоллман первым, кто использовал эту идею, был . Другие продолжали этот путь, пока Шарль Эресманн и его ученик Жан Бенабу (и одновременно другие) не сделали следующий фундаментальный шаг в конце пятидесятых годов. Их идеи возникли в результате изучения «топологических» и «дифференцируемых» категорий .

Подход Эресмана заключался в использовании категории, объектами которой были полные решетки , удовлетворяющие дистрибутивному закону, а морфизмами были отображения, сохранявшие конечные пересечения и произвольные соединения . Такие решетки он назвал «локальными решетками»; сегодня их называют «фреймами», чтобы избежать двусмысленности с другими понятиями теории решеток .

Теория фреймов и локалей в современном понимании была развита в течение следующих десятилетий ( Джон Исбелл , Питер Джонстон , Гарольд Симмонс , Бернхард Банашевски , Алеш Пултр , Тилль Плеве, Япи Вермюлен, Стив Викерс ) в живую ветвь топологии, с применением в различных областях, в частности также в теоретической информатике. Дополнительную информацию об истории теории локали см. в обзоре Джонстона.

Интуиция

Традиционно топологическое пространство состоит из набора точек , вместе с топологией — системой подмножеств, называемых открытыми множествами которая с помощью операций объединения (как join ) и пересечения (как meet ) образует решетку с определенными свойствами. В частности, объединение любого семейства открытых множеств снова является открытым множеством, и пересечение конечного числа открытых множеств снова открыто. В бессмысленной топологии мы принимаем эти свойства решетки как фундаментальные, не требуя, чтобы элементы решетки были множествами точек некоторого базового пространства и чтобы операция решетки была пересечением и объединением. Скорее, бесточечная топология основана на концепции «реалистичного пятна», а не точки без протяженности. Эти «пятна» можно соединить (символ $\vee$), сродни объединению, а также у нас есть операция встречи для пятен (символ $\land$), похоже на перекрёсток. С помощью этих двух операций пятна образуют полную решетку . Если пятно встречается с объединением других, оно должно соответствовать некоторым из составляющих, что, грубо говоря, приводит к распределительному закону.

$b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)$

где $a_{i}$ и $b$ являются пятнами и индексным семейством $I$ может быть сколь угодно большим. Этому закону распределения удовлетворяет и решетка открытых множеств топологического пространства.

Если $X$ и $Y$ являются топологическими пространствами с решетками открытых множеств, обозначаемыми через $\Omega (X)$ и $\Omega (Y)$, соответственно, и $f\colon X\to Y$ является непрерывным отображением , то, поскольку прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт, мы получаем отображение решеток в обратном направлении: $f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)$. Таким образом, такие решетчатые отображения «противоположного направления» служат надлежащим обобщением непрерывных отображений в бесточечной ситуации.

Формальные определения

Основная концепция — это фрейм — полная решетка , удовлетворяющая приведенному выше общему закону распределения. Гомоморфизмы фреймов — это отображения между фреймами, которые учитывают все соединения (в частности, наименьший элемент решетки) и конечные пересечения (в частности, наибольший элемент решетки). Фреймы вместе с гомоморфизмами фреймов образуют категорию .

Категория , противоположная категории фреймов, известна как категория локалей . Языковой стандарт $X$ таким образом, это не что иное, как рамка; если мы рассматриваем это как фрейм, мы запишем его как $O(X)$. Морфизм локали $X\to Y$ из региона $X$ в локаль $Y$ задается гомоморфизмом репера $O(Y)\to O(X)$.

Каждое топологическое пространство $T$ дает начало рамке $\Omega (T)$ открытых наборов и, следовательно, к локали. Локаль называется пространственной, если она изоморфна (в категории локалей) локали, возникающей из топологического пространства таким образом.

Примеры локалей

• Как уже говорилось выше, каждое топологическое пространство $T$ дает начало рамке $\Omega (T)$ открытых множеств и, следовательно, к локали, по определению пространственной.
• Учитывая топологическое пространство $T$, мы также можем рассмотреть совокупность его регулярных открытых множеств . Это кадр, использующий как соединение внутренней части замыкающего соединения, так и встречающее пересечение. Таким образом, мы получаем еще одну локаль, связанную с $T$. Эта локаль обычно не является пространственной.
• Для каждого $n\in \mathbb {N}$ и каждый $a\in \mathbb {R}$, используйте символ $U_{n,a}$ и построим свободный фрейм по этим символам по модулю отношений

$\bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N}$

$U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} {\text{ and all }}a,b\in \mathbb {R} {\text{ with }}a\neq b$

$\bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}a\in \mathbb {R}$

(где $\top$ обозначает наибольший элемент и $\bot$ наименьший элемент фрейма.) Полученная локаль известна как «локаль сюръективных функций». $\mathbb {N} \to \mathbb {R}$". Отношения призваны предложить интерпретацию $U_{n,a}$ как набор всех этих сюръективных функций $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ с $f(n)=a$. Конечно, таких сюръективных функций не существует. $\mathbb {N} \to \mathbb {R}$, и это не пространственная локаль.

Теория локалей

Мы видели, что у нас есть функтор $\Omega$ из категории топологических пространств и непрерывных отображений в категорию локалей. Если мы ограничим этот функтор полной подкатегорией трезвых пространств , мы получим полное вложение категории трезвых пространств и непрерывных отображений в категорию локалей. В этом смысле локали являются обобщениями трезвых пространств.

Можно перевести большинство концепций топологии множества точек в контекст локалей и доказать аналогичные теоремы. Некоторые важные факты классической топологии, зависящие от принципов выбора, становятся безвыборными (то есть конструктивными , что особенно привлекательно для информатики). Так, например, произвольные произведения компактных локалей конструктивно компактны (это теорема Тихонова в топологии точечных множеств), или пополнения равномерных локалей конструктивны. Это может быть полезно, если кто-то работает с топосом , не имеющим аксиомы выбора. Другие преимущества включают гораздо лучшее поведение паракомпактности : произвольные произведения паракомпактных локалей являются паракомпактными, что неверно для паракомпактных пространств, или тот факт, что подгруппы локальных групп всегда замкнуты.

Еще один момент, в котором топология и теория локали сильно расходятся, — это концепции подпространств и сублокалей, а также плотности: если задан любой набор плотных сублокалей локали, $X$, их пересечение также плотно в $X$. Это приводит к теореме плотности Исбелла : каждая локаль имеет наименьшую плотную подлокаль. Эти результаты не имеют эквивалента в области топологических пространств.

См. также

• Алгебра Гейтинга . Фреймы оказываются такими же, как полные алгебры Гейтинга (хотя гомоморфизмы фреймов не обязательно должны быть гомоморфизмами алгебр Гейтинга).
• Полная булева алгебра . Любая полная булева алгебра является фреймом (это пространственный фрейм тогда и только тогда, когда она атомарна).
• Подробности о взаимосвязи между категорией топологических пространств и категорией локалей, включая явное построение эквивалентности между трезвыми пространствами и пространственными локалями, можно найти в статье о двойственности Стоуна .
• Бесточечная геометрия Уайтхеда .
• Мереотопология .

Ссылки

Библиография

Общее введение в бессмысленную топологию:

• Джонстон, Питер Т. (1983). «Точка бессмысленной топологии» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 8 (1): 41–53. дои : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2 . ISSN   0273-0979 . Проверено 9 мая 2016 г.

По сути, это следует читать как трейлер к монографии Джонстона и использовать в качестве основного справочного материала:

• 1982: Джонстон, Питер Т. (1982) Stone Spaces , издательство Кембриджского университета, ISBN   978-0-521-33779-3 .

Есть недавняя монография.

• 2012: Пикадо, Хорхе, Пултр, Алеш Фреймы и локали: Топология без точек , Границы в математике, том. 28, Шпрингер, Базель (обширная библиография)

Для отношений с логикой:

• 1996: Викерс, Стивен , Топология через логику , Кембриджские трактаты по теоретической информатике, издательство Кембриджского университета.

Более краткую информацию см. в соответствующих главах:

• 2003: Педиккио, Мария Кристина, Толен, Уолтер (редакторы) Категориальные основы - специальные темы по порядку, топология, алгебра и теория пучков, Энциклопедия математики и ее приложений , Vol. 97, Издательство Кембриджского университета, стр. 49–101.
• 2003: Хазевинкель, Михель (редактор) Справочник по алгебре, том. 3, Северная Голландия, Амстердам, стр. 791–857.
• 2014: Гретцер, Джордж, Верунг, Фридрих (редакторы) Теория решеток: специальные темы и приложения Vol. 1, Springer, Базель, стр. 55–88.