Обычный открытый набор

Подмножество $S$ пространства топологического $X$ называется регулярным открытым множеством , если оно равно внутренности своего замыкания ; выражается символически, если $\operatorname {Int} ({\overline {S}})=S$ или, что то же самое, если $\partial ({\overline {S}})=\partial S,$ где $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ и $\partial S$ обозначают соответственно внутреннюю часть, замыкание границу и $S.$ ^[1]

Подмножество $S$ из $X$ называется регулярным замкнутым множеством , если оно равно замыканию своей внутренности; выражается символически, если ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ или, что то же самое, если $\partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.$ ^[1]

Примеры [ править ]

Если $\mathbb {R}$ имеет свою обычную евклидову топологию , то открытое множество $S=(0,1)\cup (1,2)$ не является регулярным открытым множеством, поскольку $\operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.$ Каждый открытый интервал в $\mathbb {R}$ является регулярным открытым множеством, и каждый невырожденный замкнутый интервал (то есть отрезок, содержащий по крайней мере две различные точки) является регулярным замкнутым множеством. Синглтон $\{x\}$ является закрытым подмножеством $\mathbb {R}$ но не обычное закрытое множество, поскольку его внутренность представляет собой пустое множество. $\varnothing ,$ так что ${\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.$

Свойства [ править ]

Подмножество $X$ является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда его дополнение в $X$ является регулярным замкнутым множеством. ^[2] Каждое регулярное открытое множество является открытым множеством , а каждое регулярное закрытое множество является закрытым множеством .

Каждое открытое подмножество $X$ (который включает в себя $\varnothing$ и $X$ само по себе) является одновременно регулярным открытым подмножеством и регулярным закрытым подмножеством.

Внутренняя часть закрытого подмножества $X$ является регулярным открытым подмножеством $X$ и аналогично, закрытие открытого подмножества $X$ является регулярным замкнутым подмножеством $X.$ ^[2] Пересечение (но не обязательно объединение) двух регулярных открытых множеств является регулярным открытым множеством. Точно так же объединение (но не обязательно пересечение) двух регулярных замкнутых множеств является регулярным замкнутым множеством. ^[2]

Коллекция всех регулярных открытых наборов в $X$ образует полную булеву алгебру ; операция соединения определяется выражением $U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}}),$ встреча это $U\land V=U\cap V$ и дополнение $\neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).$

См. также [ править ]

Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
Обычное пространство - топологическое пространство, в котором точка и замкнутое множество, если они не пересекаются, разделяются окрестностями.
Полурегулярное пространство
Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».

Примечания [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стин и Сибах, с. 6
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Уиллард, «3D, Правильно открытые и правильно закрытые множества», с. 29

Ссылки [ править ]

Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Дуврское издание).
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .

[S&Sp6-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стин и Сибах, с. 6

[willard-regopen-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Уиллард, «3D, Правильно открытые и правильно закрытые множества», с. 29

[1]

[2]