Аксиома разделения
| Аксиомы разделения в топологических пространствах | |
|---|---|
| Колмогорова Классификация | |
| Т 0 | (Kolmogorov) |
| Т 1 | (Фреше) |
| Т 2 | (Хаусдорф) |
| T 2 ½ | (Урысон) |
| полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
| TТ3 | (обычный Хаусдорф) |
| T 3½ | (Тихонов) |
| Т 4 | (обычно Хаусдорф) |
| TТ5 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
| TТ6 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
В топологии и смежных областях математики существует несколько ограничений, которые часто накладываются на типы топологических пространств , которые хотят рассматривать. Некоторые из этих ограничений задаются аксиомами разделения . Их иногда называют аксиомами разделения Тихонова , в честь Андрея Тихонова .
Аксиомы разделения не являются фундаментальными аксиомами, такими как аксиомы теории множеств , а скорее определяют свойства, которые могут быть указаны для различения определенных типов топологических пространств. Аксиомы разделения обозначаются буквой «T» после немецкой Trennungsaxiom («аксиома разделения»), а возрастающие числовые индексы обозначают все более сильные свойства.
Точные определения аксиом разделения со временем менялись . Особенно в более старой литературе разные авторы могут давать разные определения каждого состояния.
Предварительные определения [ править ]
Прежде чем определить сами аксиомы разделения, мы придаем конкретный смысл понятию разделенных множеств (и точек) в топологических пространствах . (Разделенные множества — это не то же самое, что разделенные пробелы , определенные в следующем разделе.)
Аксиомы разделения касаются использования топологических средств для различения непересекающихся множеств и отдельных точек. Недостаточно, чтобы элементы топологического пространства были различными (то есть неравными ); мы можем захотеть, чтобы они были топологически различимы . Точно так же недостаточно, чтобы подмножества топологического пространства были непересекающимися; мы можем захотеть, чтобы они были разделены (любым из способов). Все аксиомы разделения так или иначе говорят, что точки или множества, которые различимы или разделены в каком-то слабом смысле, также должны быть различимы или разделены в каком-то более сильном смысле.
Пусть X — топологическое пространство. Тогда две точки x и y в X если топологически различимы, они не имеют совершенно одинаковых окрестностей (или, что то же самое, одних и тех же открытых окрестностей); то есть по крайней мере один из них имеет окрестность, которая не является окрестностью другого (или, что то же самое, существует открытое множество , которому принадлежит одна точка, а другая нет). другой То есть хотя бы одна из точек не принадлежит замыканию .
Две точки x и y разделены , если каждая из них имеет окрестность, не являющуюся окрестностью другой; другого то есть ни один из них не принадлежит замыканию . В более общем смысле два подмножества A и B из X разделяются , если каждое из них не пересекается с замыканием другого, хотя сами замыкания не обязательно должны быть непересекающимися. Эквивалентно, каждое подмножество включено в открытое множество, не пересекающееся с другим подмножеством. Все остальные условия разделения множеств можно применить и к точкам (или к точке и множеству), используя одноэлементные множества. Точки x и y будут считаться разделенными окрестностями, замкнутыми окрестностями, непрерывной функцией, именно функцией, тогда и только тогда, когда их одноэлементные множества { x } и { y } разделены по соответствующему критерию.
Подмножества A и B разделяются окрестностями, если у них есть непересекающиеся окрестности. Они разделены замкнутыми окрестностями, если у них есть непересекающиеся замкнутые окрестности. Они разделяются непрерывной функцией , если существует непрерывная функция f от пространства X до вещественной прямой R такая, что A является подмножеством прообраза f −1 ({0}) и B — подмножество прообраза f −1 ({1}). Наконец, они точно разделены непрерывной функцией , если существует непрерывная функция f от X до R такая, что A равна прообразу f −1 ({0}) и B равно f −1 ({1}).
Эти условия даны в порядке возрастания силы: любые две топологически различимые точки должны быть различны, а любые две отдельные точки должны быть топологически различимы. Любые два разделенных множества должны быть непересекающимися, любые два множества, разделенные окрестностями, должны быть разделены и так далее.
Основные определения [ править ]
Все эти определения по существу используют предварительные определения, приведенные выше.
Многие из этих имен имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе ; например, значения «нормальный» и «Т 4 » иногда меняются местами, аналогично «обычный» и «Т 3 » и т. д. Многие понятия имеют также несколько названий; однако тот, который указан первым, всегда с наименьшей вероятностью будет двусмысленным.
Большинство этих аксиом имеют альтернативные определения с тем же значением; определения, данные здесь, соответствуют последовательной схеме, которая связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.
Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством .
- X есть T 0 или Колмогоров , если любые две различные точки из X различимы топологически . (Общим явлением среди аксиом разделения будет наличие одной версии аксиомы, требующей T 0 , и одной версии, которая этого не требует.)
- X является R0 , если или симметричным любые две топологически различимые точки в X разделены.
- X есть T 1 , или доступный , или Фреше , если любые две различные точки в X разделены. Эквивалентно, каждое одноточечное множество является замкнутым множеством. Таким образом, X является T 1 тогда и только тогда, когда он одновременно является T 0 и R 0 . (Хотя можно говорить такие вещи, как «пространство Т 1 », «топология Фреше» и «предположим, что топологическое пространство X есть Фреше»; в этом контексте следует избегать употребления слова «пространство Фреше», поскольку существует другое, совершенно иное понятие. в пространства Фреше функциональном анализе .)
- X является R 1 или предрегулярным , если любые две топологически различимые точки в X разделены окрестностями. R 1 Каждое пространство также является R 0 .
- X является Хаусдорфом , или T 2 или разделенным , если любые две различные точки в X разделены окрестностями. Таким образом, X хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно одновременно T 0 и R 1 . Каждое хаусдорфово пространство также является T 1 .
- X есть T 2½ или Урысон , если любые две различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. Каждое пространство T 2½ также является Хаусдорфовым.
- X или полностью хаусдорфово полностью T 2 , если любые две различные точки в X разделены непрерывной функцией. Каждое вполне Хаусдорфово пространство также является T 2½ .
- X является регулярным , если для любой точки x и замкнутого множества F в X, таких что x не принадлежит F , они разделены окрестностями. (На самом деле, в регулярном пространстве любые такие x и F также будут разделены замкнутыми окрестностями.) Каждое регулярное пространство также является R 1 .
- X является регулярным по Хаусдорфу или T 3 , если оно одновременно является T 0 и регулярным. [1] Каждое регулярное хаусдорфово пространство также является T 2½ .
- X является полностью регулярным , если для любой точки x и замкнутого множества F в X таких, что x не принадлежит F , они разделены непрерывной функцией. [2] Всякое вполне правильное пространство также регулярно.
- X является тихоновским , или T 3½ , вполне T 3 или вполне регулярным Хаусдорфом , если оно одновременно T 0 и вполне регулярное. [3] Каждое тихоновское пространство является одновременно регулярным и вполне хаусдорфовым.
- X является нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых подмножества X разделены окрестностями. (На самом деле, пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества можно разделить непрерывной функцией; это и есть лемма Урысона .)
- X нормально - регулярный, если он одновременно R 0 и нормальный. Всякое нормальное регулярное пространство также вполне регулярно.
- X является нормальным по Хаусдорфу или T 4 , если он одновременно является T 1 и нормальным. Каждое нормальное хаусдорфово пространство также является тихоновским и нормально регулярным.
- X совершенно нормально , если любые два разделенных множества разделены окрестностями. Любое совершенно нормальное пространство также является нормальным.
- X является совершенно нормальным по Хаусдорфу , или T 5 или вполне T 4 , если он одновременно совершенно нормален и T 1 . Всякое вполне нормальное хаусдорфово пространство является также нормальным хаусдорфовым пространством.
- X совершенно нормально , если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены непрерывной функцией. Каждое совершенно нормальное пространство одновременно является совершенно нормальным и совершенно правильным.
- X является совершенно нормальным Хаусдорфом , или T 6 или совершенно T 4 , если он одновременно совершенно нормален и T 0 . Всякое совершенно нормальное хаусдорфово пространство также является вполне нормальным Хаусдорфом.
В следующей таблице суммированы аксиомы разделения, а также значения между ними: объединенные ячейки представляют эквивалентные свойства, каждая аксиома подразумевает свойства в ячейках слева от нее, и если мы предполагаем аксиому T 1 , то каждая аксиома также подразумевает единицы в клетках над ним (например, все нормальные пространства T 1 также вполне регулярны).
| Отдельный | Разделено по районам | Разделены закрытыми кварталами | Разделено по функциям | Точно разделены по функциям | |
|---|---|---|---|---|---|
| Отличительные моменты | Симметричный [4] | Дорегулярный | |||
| Отличительные точки | Фреше | Хаусдорф | Урысон | Полностью Хаусдорф | Идеально Хаусдорф |
| Закрытое множество и точка снаружи | Симметричный [5] | Обычный | Совершенно регулярно | Совершенно нормально | |
| Непересекающиеся замкнутые множества | всегда | Нормальный | |||
| Отдельные наборы | всегда | Совершенно нормально | дискретное пространство | ||
Отношения между аксиомами [ править ]
Аксиома Т 0 особенна тем, что ее можно не только прибавить к свойству (так что вполне регулярно плюс Т 0 будет тихоновским), но также и вычесть из свойства (так что Хаусдорф минус Т 0 будет R 1 ), в довольно точный смысл; см . в разделе «Фактор Колмогорова» дополнительную информацию . Применительно к аксиомам разделения это приводит к отношениям, указанным в таблице слева ниже. В этой таблице переход от правой части к левой части осуществляется путем добавления требования T 0 , а переход от левой части к правой стороне осуществляется путем удаления этого требования с использованием операции фактора Колмогорова. (Имена в скобках, приведенные в левой части этой таблицы, обычно неоднозначны или, по крайней мере, менее известны; но они используются на диаграмме ниже.)
| Т 0 Версия | без Т 0 Версия |
|---|---|
| Т 0 | (Нет требований) |
| Т 1 | р 0 |
| Хаусдорф (Т 2 ) | Р 1 |
| T 2½ | (Без специального имени) |
| Полностью Хаусдорф | (Без специального имени) |
| Обычный Хаусдорф (Т 3 ) | Обычный |
| Тихонов (Т 3½ ) | Совершенно регулярно |
| Нормальный Т 0 | Нормальный |
| Нормальный Хаусдорф (Т 4 ) | Нормальный регулярный |
| Совершенно нормальный Т 0 | Совершенно нормально |
| Совершенно нормальный Хаусдорф (Т 5 ) | Совершенно обычный штатный |
| Совершенно нормальный Хаусдорф (Т 6 ) | Совершенно нормально |
За исключением включения или исключения T 0 , отношения между аксиомами разделения указаны на диаграмме справа. На этой диаграмме версия условия, отличная от T 0 , находится слева от косой черты, а версия T 0 — справа. Буквы используются для сокращения следующим образом:«П» = «отлично», «С» = «полностью», «Н» = «нормально» и «Р» (без нижнего индекса) = «обычно». Маркер указывает на то, что в этом месте для пространства нет специального названия. Тире внизу означает отсутствие условий.
Два свойства можно объединить с помощью этой диаграммы, следуя по диаграмме вверх до тех пор, пока обе ветви не встретятся. Например, если пространство является одновременно совершенно нормальным («CN») и полностью хаусдорфовым («CT 2 »), то, пройдя по обеим ветвям вверх, можно найти пятно «•/T 5 ».Поскольку полностью хаусдорфово пространство — это T 0 (хотя вполне нормальным пространством может и не быть), мы берем сторону T 0 косой черты, поэтому совершенно нормальное полностью хаусдорфово пространство — это то же самое, что пространство T 5 (менее двусмысленно известное как полностью нормальное хаусдорфово пространство, как видно из таблицы выше).
Как видно из диаграммы, нормальность и R 0 вместе подразумевают множество других свойств, поскольку объединение двух свойств ведет через множество узлов правой ветви. Поскольку регулярность является наиболее известным из них, пространства, которые являются одновременно нормальными и R 0, обычно называются «нормальными регулярными пространствами». Подобным же образом пространства, которые одновременно являются нормальными и T 1 , часто называются «нормальными пространствами Хаусдорфа» людьми, которые хотят избежать двусмысленного обозначения «T». Эти соглашения можно обобщить на другие регулярные пространства и пространства Хаусдорфа.
[Примечание: эта диаграмма не отражает того, что совершенно нормальные пространства всегда регулярны; редакция сейчас над этим работает.]
Другие аксиомы разделения
Есть некоторые другие условия в топологических пространствах, которые иногда классифицируются с помощью аксиом разделения, но они не полностью соответствуют обычным аксиомам разделения. Помимо их определений, они здесь не обсуждаются; см. их отдельные статьи.
- X является трезвым , если для каждого замкнутого множества C которое не является (возможно, непересекающимся) объединением двух меньших замкнутых множеств, существует единственная точка p такая, что замыкание { p } равно C. , Короче говоря, каждое неприводимое замкнутое множество имеет единственную точку общего положения. Любое хаусдорфово пространство должно быть трезвым, и любое трезвое пространство должно быть T 0 .
- X является слабым хаусдорфовым пространством , если для любого непрерывного отображения f в X из компактного хаусдорфова пространства образ f замкнут в X . Любое хаусдорфово пространство должно быть слабым хаусдорфовым пространством, а любое слабое хаусдорфово пространство должно быть T 1 .
- X полурегулярно , если регулярные открытые множества образуют базу для открытых множеств X . Любое регулярное пространство должно быть также полуправильным.
- X является квазирегулярным , если для любого непустого открытого множества G существует непустое открытое множество H такое, что замыкание H содержится в G .
- X — это совершенно нормально , если каждая открытая крышка имеет доработку в виде открытой звезды . X является полностью T 4 или полностью нормальным по Хаусдорфу , если он одновременно T 1 и полностью нормальный. Каждое полностью нормальное пространство является нормальным, и каждое полностью T 4 пространство является T 4 . Более того, можно показать, что всякое , полностью T 4 пространство , паракомпактно . Фактически, полностью нормальные пространства больше связаны с паракомпактностью, чем с обычными аксиомами разделения.
- Аксиома о том, что все компактные подмножества замкнуты, строго между T 1 и T 2 имеет силу (Хаусдорф). Пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, обязательно является T 1, поскольку каждое одноточечное множество обязательно компактно и, следовательно, замкнуто, но обратное не обязательно верно; для коконечной топологии на бесконечном числе точек, т. е. T 1 , каждое подмножество компактно, но не каждое подмножество замкнуто. Более того, каждое T 2 (хаусдорфово) пространство удовлетворяет аксиоме, согласно которой все компактные подмножества замкнуты, но обратное не обязательно верно; для счетной топологии на несчетном числе точек все компакты конечны и, следовательно, все замкнуты, но пространство не является T 2 (Хаусдорф).
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Шехтер 1997 , с. 441.
- ^ Шехтер 1997 , 16.16, с. 442.
- ^ Шехтер 1997 , 16.17, с. 443.
- ^ Шехтер 1997 , 16.6(D), с. 438.
- ^ Шехтер 1997 , 16.6(C), с. 438.
Ссылки [ править ]
- Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 0126227608 . (среди прочего имеет R i ) аксиомы
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. компании ISBN 0-486-43479-6 . (имеет все аксиомы, не относящиеся к R i, упомянутые в основных определениях, с этими определениями)