Урысона и вполне Хаусдорфовых пространств.

Аксиомы разделения
в топологических пространствах
Аксиомы разделения ; в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально ; Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально ; Хаусдорф)
	История ;

В топологии , дисциплине математики, пространство Урысона или Т _2½ пространство — это топологическое пространство , в котором любые две различные точки могут быть разделены замкнутыми окрестностями . , Полностью Хаусдорфово пространство или функционально Хаусдорфово пространство , представляет собой топологическое пространство, в котором любые две различные точки могут быть разделены непрерывной функцией . Эти условия представляют собой аксиомы разделения , которые несколько сильнее, чем более известная аксиома Хаусдорфа T ₂ .

Определения [ править ]

Предположим, что X — топологическое пространство . Пусть x и y точки в X. —

Мы говорим, что x и y могут быть разделены замкнутыми окрестностями , если существуют замкнутая окрестность U точки x и замкнутая окрестность V точки y такие, что U и V ( не пересекаются U ∩ V = ∅). (Обратите внимание, что «замкнутая окрестность x » — это замкнутое множество , содержащее открытое множество , содержащее x .)
Мы говорим, что x и y могут быть разделены функцией , если существует непрерывная функция f : X → [0,1] ( единичный интервал ) с f ( x ) = 0 и f ( y ) = 1.

Пространство Урысона , также называемое T _2½ пространством , — это пространство, в котором любые две различные точки могут быть разделены замкнутыми окрестностями.

, Полностью Хаусдорфово пространство или функционально Хаусдорфово пространство , — это пространство, в котором любые две различные точки могут быть разделены непрерывной функцией.

Соглашения об именах [ править ]

Исследование аксиом разделения печально известно конфликтами с используемыми соглашениями об именах. Определения, используемые в этой статье, взяты из Уилларда (1970) и являются более современными определениями. Стин и Зеебах (1970) и ряд других авторов меняют определение полностью хаусдорфовых пространств и пространств Урысона. Читатели учебников по топологии должны обязательно ознакомиться с определениями, используемыми автором. см. в разделе «История аксиом разделения» Дополнительную информацию по этому вопросу .

с другими разделения Связь аксиомами

Любые две точки, которые можно разделить функцией, можно разделить замкнутыми окрестностями. Если их можно разделить закрытыми окрестностями, то, очевидно, они могут быть разделены окрестностями. Отсюда следует, что всякое вполне Хаусдорфово пространство является Урысоном и всякое пространство Урысона является Хаусдорфовым .

Можно также показать, что каждое регулярное хаусдорфово пространство является урысоновым, а каждое тихоновское пространство (= вполне регулярное хаусдорфово пространство) вполне хаусдорфово. Подводя итоги, мы имеем следующие последствия:

Тихонов (Т _3½ )	$\Rightarrow$	обычный Хаусдорф (Т ₃ )
$\Downarrow$		$\Downarrow$
полностью Хаусдорф	$\Rightarrow$	Урысон (Т _2½ )	$\Rightarrow$	Хаусдорф (Т ₂ )	$\Rightarrow$	Т ₁

Можно найти контрпримеры, показывающие, что ни один из этих выводов не является обратным. ^[1]

Примеры [ править ]

Топология сосчетного расширения — это топология на вещественной прямой, порожденная объединением обычной евклидовой топологии и косчетной топологии . Множества открыты в этой топологии тогда и только тогда, когда они имеют вид U \ A , где U открыто в евклидовой топологии, A счетно а . Это пространство вполне хаусдорфово-урысоновское, но не регулярное (а значит, и не тихоновское).

Существуют пространства, которые хаусдорфовы, но не урысоновы, и пространства урысоновские, но не вполне хаусдорфовые или регулярные хаусдорфовы. Примеры нетривиальны; подробнее см. Стин и Зеебах.

Примечания [ править ]

^ «Хаусдорфово пространство не полностью Хаусдорфово» . ПланетаМатематика .

Ссылки [ править ]

Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446
Стивен Уиллард, Общая топология , Аддисон-Уэсли, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Дуврское издание).
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
«Полностью Хаусдорф» . ПланетаМатематика .

[1] «Хаусдорфово пространство не полностью Хаусдорфово» . ПланетаМатематика .

[1]