Отдельные наборы

Аксиомы разделения в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В топологии и смежных разделах математики , разделенные множества — это пары подмножеств данного топологического пространства связанные друг с другом определенным образом: грубо говоря, не перекрывающиеся и не соприкасающиеся. Понятие о том, когда два множества разделены или нет, важно как для понятия связных пространств (и их связных компонентов), так и для аксиом разделения топологических пространств.

Разделенные множества не следует путать с разделенными пространствами (определенными ниже), которые в некоторой степени родственны, но различны. Сепарабельные пространства — это снова совершенно другая топологическая концепция.

Определения

Существуют различные способы объединения двух подмножеств $A$ и $B$ топологического пространства $X$ можно считать разделенными. Самый простой способ разделения двух множеств — это если они не пересекаются , то есть если их пересечение является пустым множеством . Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а лишь с теорией множеств . Каждое из приведенных ниже свойств является более строгим, чем непересекаемость, и включает в себя некоторую топологическую информацию. Свойства представлены в порядке возрастания специфичности, каждое из которых является более сильным понятием, чем предыдущее.

Более ограничительное свойство состоит в том, что $A$ и $B$ являются разделены в $X$ другого если каждый из них не пересекается с замыканием :

$$A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.$$

Это свойство известно как условие разделения Хаусдорфа-Ленна . Поскольку каждое множество содержится в своем замыкании, два отдельных множества автоматически должны быть непересекающимися. Сами замыкания не обязательно должны быть отделены друг от друга; например, интервалы $[0,1)$ и $(1,2]$ разделены реальной линией $\mathbb {R} ,$ хотя точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий пример: в любом метрическом пространстве два открытых шара $B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}$ и $B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}$ разделены всякий раз, когда $d(p,q)\geq r+s.$ Свойство быть разделенным также можно выразить через производное множество (обозначенное штрихом): $A$ и $B$ разделяются, когда они не пересекаются и каждый из них не пересекается с производным множеством другого, то есть ${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$ (Как и в случае с первым вариантом определения, производные множества $A'$ и $B'$ не обязательно должны быть отделены друг от друга.)

Наборы $A$ и $B$ являются разделены кварталами, если есть кварталы $U$ из $A$ и $V$ из $B$ такой, что $U$ и $V$ непересекающиеся. (Иногда вы увидите требование, что $U$ и $V$ быть открытыми районами, но в конечном итоге это не имеет никакого значения.) Например, $A=[0,1)$ и $B=(1,2],$ ты мог бы взять $U=(-1,1)$ и $V=(1,3).$ Заметим, что если любые два множества разделены окрестностями, то они заведомо разделены. Если $A$ и $B$ открыты и непересекающиеся, то их необходимо разделить по окрестностям; просто возьми $U=A$ и $V=B.$ По этой причине разделенность часто используется с закрытыми множествами (как в обычной аксиоме разделения ).

Наборы $A$ и $B$ являются разделены закрытыми окрестностями, если есть закрытая окрестность $U$ из $A$ и закрытый район $V$ из $B$ такой, что $U$ и $V$ непересекающиеся. Наши примеры, $[0,1)$ и $(1,2],$ не разделены закрытыми кварталами. Вы можете сделать либо $U$ или $V$ замкнуты, включив в нее точку 1, но вы не можете сделать их обе замкнутыми, сохраняя при этом их непересекаемость. Заметим, что если любые два множества разделены замкнутыми окрестностями, то заведомо они разделены окрестностями .

Наборы $A$ и $B$ являются разделенные непрерывной функцией, если существует непрерывная функция $f:X\to \mathbb {R}$ из космоса $X$ к реальной линии $\mathbb {R}$ такой, что $A\subseteq f^{-1}(0)$ и $B\subseteq f^{-1}(1)$, то есть члены $A$ отобразить на 0 и членов $B$ отобразить на 1. (Иногда единичный интервал $[0,1]$ используется вместо $\mathbb {R}$ в этом определении, но это не имеет значения.) В нашем примере $[0,1)$ и $(1,2]$ не разделены функцией, поскольку нет возможности непрерывно определять $f$ в точке 1. Если два множества разделены непрерывной функцией, то они также разделены замкнутыми окрестностями ; можно задать через прообраз окрестности $f$ как $U=f^{-1}[-c,c]$ и $V=f^{-1}[1-c,1+c],$ где $c$ любое положительное действительное число меньше $1/2.$

Наборы $A$ и $B$ являются точно разделены непрерывной функцией, если существует непрерывная функция $f:X\to \mathbb {R}$ такой, что $A=f^{-1}(0)$ и $B=f^{-1}(1).$ (Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместо $\mathbb {R} ,$ и опять же это не имеет значения.) Обратите внимание, что если любые два множества точно разделены функцией, то они разделены функцией . С $\{0\}$ и $\{1\}$ закрыты в $\mathbb {R} ,$ только замкнутые множества могут быть точно разделены функцией, но то, что два множества замкнуты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделяются функцией (даже другой функцией).

Связь с аксиомами разделения и разделенными пространствами

Основная статья: аксиома разделения

Аксиомы разделения — это различные условия, которые иногда накладываются на топологические пространства, многие из которых можно описать в терминах различных типов разделенных множеств. В качестве примера мы определим аксиому T ₂ , которая представляет собой условие, налагаемое на разделенные пространства. В частности, топологическое пространство является разделенным , если для любых двух различных точек x и y одноэлементные множества { x } и { y } разделены окрестностями.

Разделенные пространства обычно называют пространствами Хаусдорфа или Т ₂ пространствами .

Отношение к связанным пространствам

Основная статья: Подключенное пространство

Учитывая топологическое пространство X , иногда полезно рассмотреть вопрос о том, возможно ли подмножество A отделить от его дополнения . Это, конечно, верно, если A — это либо пустое множество, либо все пространство X , но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство X связно , если это единственные две возможности. И наоборот, если непустое подмножество A отделено от своего собственного дополнения и если единственным подмножеством A , обладающим этим свойством, является пустое множество, то является компонентом открытой связности X A . (В вырожденном случае, когда X само является пустым множеством $\emptyset$, власти расходятся во мнениях относительно того, является ли $\emptyset$ подключено и есть ли $\emptyset$ является открыто-связным компонентом самого себя.)

Отношение к топологически различимым точкам

Основная статья: Топологическая различимость

В топологическом пространстве X две точки x и y если топологически различимы, существует открытое множество , которому одна точка принадлежит, а другая нет. Если x и y топологически различимы, то одноэлементные множества { x } и { y } должны быть непересекающимися. С другой стороны, если синглтоны { x } и { y } разделены, то точки x и y должны быть топологически различимы. Таким образом, для синглтонов топологическая различимость является промежуточным состоянием между дизъюнктностью и разделенностью.

См. также

• Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
• Локально Хаусдорфово пространство
• Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».

Источники

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN  0-13-181629-2 .
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Аддисон-Уэсли . ISBN  0-486-43479-6 .
• Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press