Топологическая неотличимость

Аксиомы разделения в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В топологии две точки топологического пространства X если топологически неразличимы, они имеют одинаковые окрестности . То есть, если x и y — точки в X , а N _x — множество всех окрестностей, содержащих x , а N _y — множество всех окрестностей, содержащих y , то x и y «топологически неразличимы» тогда и только тогда, когда если   N _{Икс знак} равно N _y . Хаусдорфа (См. аксиоматические системы соседства .)

Интуитивно понятно, что две точки топологически неразличимы, если топология X не может различать точки.

Две точки X если топологически различимы, они не топологически неразличимы. Это означает, что существует открытое множество , содержащее ровно одну из двух точек (эквивалентно, существует замкнутое множество , содержащее ровно одну из двух точек). Затем этот открытый набор можно использовать для различения двух точек. Пространство T ₀ — это топологическое пространство, в котором каждая пара различных точек топологически различима. Это самая слабая из аксиом разделения .

Топологическая неотличимость определяет отношение эквивалентности любом топологическом пространстве X. на Если x и y являются точками X, мы пишем x ≡ y, поскольку « x и y топологически неразличимы». Класс эквивалентности x x будем обозначать [ ] .

Примеры

По определению любые две различные точки в T ₀ пространстве топологически различимы. С другой стороны, регулярность и нормальность не предполагают T ₀ , поэтому мы можем найти нетривиальные примеры топологически неразличимых точек в регулярных или нормальных топологических пространствах. На самом деле почти все приведенные ниже примеры совершенно регулярны .

• В недискретном пространстве любые две точки топологически неразличимы.
• В псевдометрическом пространстве две точки топологически неразличимы тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно нулю.
• В полунормированном векторном пространстве x ≡ y тогда и только тогда, когда ‖ x − y ‖ = 0.
  • Например, пусть Л ² ( R ) — пространство всех измеримых функций от R до R , интегрируемых с квадратом (см. L ^п космос ). Тогда две функции f и g из L ² ( R ) топологически неразличимы тогда и только тогда, когда они равны почти всюду .
• В топологической группе x ≡ y тогда и только тогда, когда x ⁻¹ y ∈ cl{ e }, где cl{ e } — замыкание тривиальной подгруппы . Классы эквивалентности — это просто смежные классы cl{ e } (который всегда является нормальной подгруппой ).
• Равномерные пространства обобщают как псевдометрические пространства, так и топологические группы. В однородном пространстве x ≡ y тогда и только тогда, когда пара ( x , y ) принадлежит каждому антуражу . Пересечение всех окружений представляет собой отношение эквивалентности на X , которое представляет собой не что иное, как отношение топологической неотличимости.
• Пусть X имеет начальную топологию относительно семейства функций $\{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}$. Тогда две точки x и y из X будут топологически неразличимы, если семейство $f_{\alpha }$ не разделяет их (т. $f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)$ для всех $\alpha$).
• Для любого отношения эквивалентности на множестве X существует топология на X , для которой понятие топологической неотличимости согласуется с данным отношением эквивалентности. можно просто взять классы эквивалентности За основу топологии называется топологией разделов на X. . Это

Предзаказ на специализацию

Отношение топологической неотличимости в пространстве X можно восстановить из естественного предпорядка на X, называемого предпорядком специализации . Для точек x и y в X этот предварительный порядок определяется формулой

x ≤ y тогда и только тогда, когда x ∈ cl{ y }

где cl{ y } обозначает замыкание { y }. Эквивалентно, x ≤ y если система окрестностей x , , обозначаемая N _x , содержится в системе окрестностей y :

x ≤ y тогда и только тогда, когда N _x ⊂ N _y .

Легко видеть, что это отношение на X рефлексивно и, таким образом , и транзитивно определяет предпорядок. Однако в целом этот предварительный порядок не будет антисимметричным . Действительно, отношение эквивалентности, определяемое условием ≤, является в точности отношением топологической неотличимости:

x ≡ y тогда и только тогда, когда x ≤ y и y ≤ x .

Топологическое пространство называется симметричным (или R ₀ ), если предварительный порядок специализации симметричен (т. е. из x ≤ y следует y ≤ x ). В этом случае отношения ≤ и ≡ тождественны. Топологическая неотличимость в этих пространствах проявляется лучше и ее легче понять. Заметим, что в этот класс пространств входят все регулярные и вполне регулярные пространства .

Свойства

Эквивалентные условия

Существует несколько эквивалентных способов определить, когда две точки топологически неразличимы. Пусть X — топологическое пространство, а и y — точки X. x Обозначим соответствующие замыкания x y и }, а через cl{ x } и cl{ y соответствующие системы окрестностей через N _x и N _y . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• х ≡ у
• для каждого открытого множества U в X U . содержит либо x , либо y , либо ни один из них
• Н _х = Н _у
• x ∈ cl{ y } и y ∈ cl{ x }
• кл { х } = кл { у }
• x ∈ ∩ N _y и y ∈ ∩ N _x
• ∩ N _x = ∩ N _y
• x ∈ cl{ y } и x ∈ ∩ N _y
• x принадлежит каждому открытому множеству и каждому закрытому множеству, содержащему y
• сеть тогда и только тогда , или фильтр сходятся к x когда они сходятся к y

Эти условия можно упростить в случае, когда X — симметричное пространство . Для этих пространств (в частности, для регулярных пространств ) следующие утверждения эквивалентны:

• х ≡ у
• для каждого открытого множества U , если x ∈ U , то y ∈ U
• Н _х ⊂ Н _у
• х € cl{ y }
• x ∈ ∩ N _y
• x принадлежит каждому замкнутому множеству, содержащему y
• x принадлежит каждому открытому множеству, содержащему y
• каждая сеть или фильтр, который сходится к x, сходится к y

Классы эквивалентности

Чтобы обсудить эквивалентности x множества , удобно сначала определить верхнее и нижнее x класс . Оба они определены относительно предварительного порядка специализации, обсуждавшегося выше.

Нижний набор x — это просто замыкание { x }:

$\mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}$

в то время как верхний набор x является пересечением системы окрестностей в точке x :

$\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.$

Тогда класс эквивалентности x задается пересечением

$[x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}.$

Поскольку ↓ x является пересечением всех закрытых множеств, содержащих x , а ↑ x является пересечением всех открытых множеств, содержащих x , класс эквивалентности [ x ] является пересечением всех открытых множеств и закрытых множеств, содержащих x .

И cl{ x }, и ∩ N _x будут содержать класс эквивалентности [ x ]. В общем, оба набора будут содержать и дополнительные баллы. Однако в симметричных пространствах (в частности, в регулярных пространствах ) три множества совпадают:

$[x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.$

В общем, классы эквивалентности [ x ] будут замкнутыми тогда и только тогда, когда пространство симметрично.

Непрерывные функции

Пусть f : X → Y — непрерывная функция . Тогда для любых x и y из X

Икс ≡ y подразумевает ж ( Икс ) ≡ ж ( y ).

Обратное, как правило, неверно (существуют факторы пространств T ₀ , которые тривиальны ). Обратное будет иметь место, если X имеет начальную топологию, индуцированную f . В более общем смысле, если X имеет начальную топологию, индуцированную семейством отображений $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$ затем

x ≡ y тогда и только тогда, когда f _α ( x ) ≡ f _α ( y ) для всех α.

Отсюда следует, что два элемента в пространстве продукта топологически неразличимы тогда и только тогда, когда каждый из их компонентов топологически неразличим.

Коэффициент Колмогорова

Поскольку топологическая неотличимость является отношением эквивалентности на любом топологическом пространстве X , мы можем сформировать фактор-пространство KX = X /≡. Пространство KX называется Колмогорова или T ₀ идентификацией X . фактором Пространство KX фактически есть T ₀ (т. е. все точки топологически различимы). Более того, в силу характеристического свойства фактор-отображения любое непрерывное отображение f : X → Y из X в T ₀ пространственно факторизуется через фактор-отображение q : X → KX .

Хотя фактор-отображение q обычно не является гомеоморфизмом (поскольку оно не является вообще инъективным ), оно вызывает биекцию между топологией на X и топологией на KX . Интуитивно понятно, что фактор Колмогорова не меняет топологию пространства. Он просто уменьшает набор точек до тех пор, пока точки не станут топологически различимы.

См. также

• Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
• Локально Хаусдорфово пространство
• Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».
• Предварительный заказ специализации — предмет в топологии. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• T ₀ Пространство — концепция в топологии. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.