Локально Хаусдорфово пространство

Аксиомы разделения в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В математике , в области топологии , топологическое пространство называется локально Хаусдорфовым, если каждая точка имеет окрестность , которая является Хаусдорфовым пространством под топологией подпространства .

Примеры и достаточные условия

• Каждое хаусдорфово пространство является локально хаусдорфовым.
• Существуют локальные хаусдорфовые пространства, в которых последовательность имеет более одного предела. Этого никогда не может случиться с хаусдорфовым пространством.
• Прямая с двумя началами является локально Хаусдорфовой (на самом деле она локально метризуема ), но не Хаусдорфовой.
• Этальное пространство пучка не является хаусдорфовым, но локально дифференцируемых функций на дифференциальном многообразии хаусдорфовым.
• Позволять $X$ быть набором с заданной топологией конкретной точки с конкретной точкой $p.$ Пространство $X$ находится локально в Хаусдорфе $p,$ с $p$ является изолированной точкой в $X$ и синглтон $\{p\}$ это район Хаусдорфа $p.$ Для любой другой точки $x,$ любая его окрестность содержит $p$ и, следовательно, пространство не является локально Хаусдорфовым в точке $x.$

Характеристики

Пространство является локально хаусдорфовым в точности, если его можно записать как объединение хаусдорфовых открытых подпространств. А в локально хаусдорфовом пространстве каждая точка принадлежит некоторому плотному хаусдорфову открытому подпространству.

Каждое локально хаусдорфово пространство есть T ₁ . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, бесконечное множество с коконечной топологией — это T1 _, пространство которое не является локально хаусдорфовым.

Каждое локальное хаусдорфово пространство трезво .

Если $G$ - топологическая группа , локально хаусдорфова в некоторой точке $x\in G,$ затем $G$ является Хаусдорф. Это следует из того, что если $y\in G,$ существует гомеоморфизм из $G$ себе несущий $x$ к $y,$ так $G$ локально хаусдорфова в каждой точке и, следовательно, является T ₁ (а топологические группы T ₁ хаусдорфовы).