Трезвое пространство

В математике трезвое пространство — это топологическое пространство X такое, что каждое (непустое) неприводимое замкнутое подмножество X является замыканием ровно одной точки X : то есть каждое неприводимое замкнутое подмножество имеет уникальную точку общего положения .

Определения

Трезвые пространства имеют множество криптоморфных определений, которые описаны в этом разделе. Все, кроме определения в терминах сетей, описано в . В каждом нижеприведенном случае замена «уникального» на «не более одного» дает эквивалентную формулировку T ₀ аксиомы . Замена его на «по крайней мере один» эквивалентна тому свойству, что фактор T ₀ пространства является трезвым, что в литературе иногда называют «достаточным количеством точек».

С неприводимыми замкнутыми множествами

Замкнутое множество называется неприводимым , если его нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств. Пространство трезво , если каждое непустое неприводимое замкнутое подмножество является замыканием единственной точки.

С точки зрения морфизмов фреймов и локалей

Топологическое пространство X является трезвым, если каждое отображение, сохраняющее все соединения и все конечные значения, переходит из своего частично упорядоченного набора открытых подмножеств в $\{0,1\}$ является прообразом единственной непрерывной функции из одноточечного пространства в X .

Это можно рассматривать как соответствие между понятием точки в локали и точкой в ​​топологическом пространстве, что является мотивирующим определением.

Использование полностью простых фильтров

Фильтр если F открытых множеств называется вполне простым, для любого семейства $O_{i}$ открытых множеств таких, что $\bigcup _{i}O_{i}\in F$, у нас это есть $O_{i}\in F$ для некоторых я . Пространство X является трезвым, если каждый его вполне простой фильтр является фильтром окрестности единственной точки в X.

Что касается сетей

сеть ​ $x_{\bullet }$ является самосходящимся, если он сходится к каждой точке $x_{i}$ в $x_{\bullet }$или, что то же самое, если его фильтр событий полностью простой. сеть $x_{\bullet }$ который сходится к $x$ сильно сходится, если он может сходиться только к точкам замыкания $x$. Пространство трезво, если каждая самосходящаяся сеть $x_{\bullet }$ сильно сходится в единственную точку $x$.

В частности, пространство является T1 и трезвым именно тогда, когда каждая самосходящаяся сеть постоянна.

Как свойство пучков на пространстве

Пространство X является трезвым, если каждый функтор из категории пучков Sh(X) в Set , сохраняющий все конечные пределы и все малые копределы, должен быть функтором стебля единственной точки x .

Свойства и примеры

Любое хаусдорфово (T ₂ ) пространство является трезвым (единственными неприводимыми подмножествами являются точки), а все трезвые пространства являются колмогоровскими (T ₀ ), и оба импликации строгие.

Трезвость не сравнима с состоянием Т ₁ :

• примером пространства T _1, которое не является трезвым, является бесконечное множество с коконечной топологией , причем все пространство представляет собой неприводимое замкнутое подмножество без общей точки;
• Примером трезвого пространства, не являющегося T _1, является пространство Серпинского .

Более того, T ₂ сильнее T ₁ и трезво, т.е., хотя каждое пространство T ₂ является одновременно T ₁ и трезвым, существуют пространства, которые одновременно являются T ₁ и трезвым, но не T ₂ . Одним из таких примеров является следующий: пусть X — множество действительных чисел с присоединенной новой точкой p; все открытые множества являются действительными открытыми множествами и всеми коконечными множествами, содержащими p.

Уравновешенность X — это в точности условие, которое заставляет открытых подмножеств X решетку определять X с точностью до гомеоморфизма , который имеет отношение к бессмысленной топологии .

Трезвость делает предварительный порядок специализации порядком направленным полным частичным .

Каждое непрерывное направленное полное частично упорядоченное множество, оснащенное топологией Скотта, является трезвым.

Конечные пространства T ₀ трезвы.

Простой спектр Spec( R ) коммутативного кольца R с топологией Зариского является компактным трезвым пространством. Фактически, каждое спектральное пространство (т. е. компактное трезвое пространство, для которого совокупность компактных открытых подмножеств замкнута относительно конечных пересечений и образует базу топологии) гомеоморфно Spec( R ) для некоторого коммутативного кольца R . Это теорема Мелвина Хохстера . В более общем смысле, топологическое пространство, лежащее в основе любой схемы, является трезвым пространством.

Подмножество Spec( R ), состоящее только из максимальных идеалов, где R — коммутативное кольцо, вообще говоря, не является трезвым.

См. также

• Двойственность Стоуна о двойственности между трезвыми топологическими пространствами и пространственными фреймами (т. е. полными алгебрами Гейтинга ).

Дальнейшее чтение

• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .
• Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том. 5. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 66. ИСБН  0-521-36062-5 . Збл   0668.54001 .