Спектральное пространство

В математике спектральное пространство — топологическое пространство спектру , гомеоморфное коммутативного кольца . Иногда его также называют связным пространством из-за связи с связными топосами .

Определение [ править ]

Пусть X — топологическое пространство и K ^$\circ$( X ) — множество всех компактные открытые X . подмножества Тогда X называется спектральным , если он удовлетворяет всем следующим условиям:

X компактен и T ₀ .
К ^$\circ$( X ) является базисом открытых подмножеств X .
К ^$\circ$( X ) замкнуто относительно конечных пересечений.
X трезво точку т. е. каждое непустое неприводимое замкнутое подмножество X , имеет (обязательно единственную) общего положения .

Эквивалентные описания [ править ]

Пусть X — топологическое пространство. Каждое из следующих свойств эквивалентно к свойству X быть спектральным:

X гомеоморфно проективному пределу конечных T0 _- пространств .
X гомеоморфно спектру ограниченной дистрибутивной решетки L . В этом случае L изоморфна (как ограниченная решетка) решетке K ^$\circ$( X ) (это называется стоуновым представлением дистрибутивных решеток ).
X гомеоморфно спектру коммутативного кольца .
X — топологическое пространство, определяемое пространством Пристли .
X — это пространство T ₀ открытых множеств которого , рама когерентна (и, таким образом, каждая когерентная структура происходит из уникального спектрального пространства).

Свойства [ править ]

Пусть X — спектральное пространство и K ^$\circ$( X ) будет как прежде. Затем:

К ^$\circ$( X ) — ограниченная подрешетка подмножеств X .
Каждое замкнутое подпространство X . спектрально
Произвольное пересечение компактного и открытого подмножеств X (следовательно, элементов из K ^$\circ$( X )) снова спектрально.
X является T ₀ по определению, но, вообще говоря, не T ₁ . ^[1] Фактически спектральное пространство является T ₁ тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово (или T ₂ ), тогда и только тогда, когда оно является булевым пространством тогда и только тогда, когда K ^$\circ$( X ) — булева алгебра .
X можно рассматривать как парное пространство Стоуна . ^[2]

Спектральные карты [ править ]

Спектральное отображение f: X → Y между спектральными пространствами X и Y — это непрерывное отображение такое, что прообраз каждого открытого и компактного подмножества Y относительно f снова компактен.

Категория спектральных пространств , морфизмами которых являются спектральные отображения, дуально эквивалентна категории ограниченных дистрибутивных решеток (вместе с гомоморфизмами таких решеток). ^[3] В этой антиэквивалентности спектральное пространство X соответствует решетке K ^$\circ$( Х ).

Цитаты [ править ]

^ A.V. Arkhangel'skii , L.S. Pontryagin (Eds.) General Topology I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (см. пример 21, раздел 2.6.)
^ Г. Бежанишвили, Н. Бежанишвили, Д. Габелая, А. Курц (2010). «Битопологическая двойственность дистрибутивных решеток и гейтинговых алгебр». Математические структуры в информатике , 20.
^ Джонстон 1982 .

Ссылки [ править ]

М. Хохстер (1969). Первичная идеальная структура в коммутативных кольцах. Пер. амер. Математика. Соц. , 142 43—60
Джонстон, Питер (1982), «II.3 Согласованные места», Stone Spaces , Cambridge University Press, стр. 62–69, ISBN 978-0-521-33779-3 .
Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства . Новые математические монографии. Том. 35. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723 .

[1] A.V. Arkhangel'skii , L.S. Pontryagin (Eds.) General Topology I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (см. пример 21, раздел 2.6.)

[2] Г. Бежанишвили, Н. Бежанишвили, Д. Габелая, А. Курц (2010). «Битопологическая двойственность дистрибутивных решеток и гейтинговых алгебр». Математические структуры в информатике , 20.

[FOOTNOTEJohnstone1982-3] Джонстон 1982 .

[1]

[2]

[3]