Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр
 | Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( июнь 2015 г. ) |
В математике , теорема Стоуна о представлении булевых алгебр что каждая булева алгебра изоморфна утверждает определенному полю множеств . Эта теорема имеет фундаментальное значение для более глубокого понимания булевой алгебры , возникшей в первой половине 20 века. Теорема была впервые доказана Маршаллом Х. Стоуном . [1] К этому Стоуна привело исследование спектральной теории операторов пространстве в гильбертовом .
Каменные пространства [ править ]
Каждая булева алгебра B имеет связанное с ней топологическое пространство , обозначаемое здесь S ( B ), называемое пространством Стоуна . Точки в S ( B ) являются ультрафильтрами на B или, что то же самое, гомоморфизмами из B в двухэлементную булеву алгебру . Топология на S ( B ) порождается базисом, состоящим из всех множеств вида
Для всякой булевой алгебры S B ( B ) — компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство ; такие пространства называются пространствами Стоуна (также проконечными пространствами ). И наоборот, для любого топологического пространства X совокупность открыто-замкнутых подмножеств X является булевой алгеброй.
Теорема представлении о
Простая версия теоремы о представлении Стоуна утверждает, что каждая булева алгебра B изоморфна алгебре открыто-замкнутых подмножеств ее пространства Стоуна S ( B ). Изоморфизм отправляет элемент множеству всех ультрафильтров, содержащих b . Это открыто-замкнутое множество из-за выбора топологии на S ( B ) и потому, что B — булева алгебра.
Переформулируя теорему, используя язык теории категорий ; теорема утверждает, что существует двойственность между категорией булевых алгебр и категорией пространств Стоуна. Эта двойственность означает, что помимо соответствия между булевыми алгебрами и их пространствами Стоуна, каждый гомоморфизм булевой алгебры A в булеву алгебру B естественным образом соответствует непрерывной функции из S ( B ) в S ( A ). Другими словами, существует контравариантный функтор , который дает эквивалентность между категориями. Это был ранний пример нетривиальной двойственности категорий.
Теорема является частным случаем двойственности Стоуна , более общей концепции двойственности между топологическими пространствами и частично упорядоченными множествами .
Для доказательства требуется либо аксиома выбора , либо ее ослабленная форма. В частности, эта теорема эквивалентна булевой теореме о простых идеалах — ослабленному принципу выбора, который утверждает, что каждая булева алгебра имеет простой идеал.
Распространение классической двойственности Стоуна на категорию булевых пространств (т. е. нульмерных локально компактных хаусдорфовых пространств) и непрерывных отображений (соответственно совершенных отображений) было получено Г. Д. Димовым (соответственно Г. П. Доктором). [2] [3]
См. также [ править ]
- Теорема Стоуна о представлении дистрибутивных решеток
- Теорема о представлении - доказательство того, что каждая структура с определенными свойствами изоморфна другой структуре.
- Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
- Список тем по булевой алгебре
- Стоуново пространство - топологическое пространство, в котором замыкание каждого открытого множества открыто.
- Функтор Стоуна - Функтор в теории категорий
- Проконечная группа - Топологическая группа, в определенном смысле собранная из системы конечных групп.
- Лемма об ультрафильтре : страницы максимально правильного фильтра,
Цитаты [ править ]
- ^ Стоун, Маршалл Х. (1936). «Теория представлений булевых алгебр» . Труды Американского математического общества . 40 (1): 37–111. дои : 10.2307/1989664 . JSTOR 1989664 .
- ^ Димов, Г.Д. (2012). «Некоторые обобщения теоремы двойственности Стоуна» . Опубл. Математика. Дебрецен . 80 (3–4): 255–293. дои : 10.5486/PMD.2012.4814 .
- ^ Доктор, HP (1964). «Категории булевых решеток, булевых колец и булевых пространств» . Канада. Математика. Бык. 7 (2): 245–252. дои : 10.4153/CMB-1964-022-6 . S2CID 124451802 .
Ссылки [ править ]
- Халмос, Пол ; Гивант, Стивен (1998). Логика как алгебра . Математические изложения Дольчиани. Том. 21. Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-327-2 .
- Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные просторы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23893-5 .
- Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (1981). Курс универсальной алгебры . Спрингер. ISBN 3-540-90578-2 .