Пространство Пристли

В математике — пространство Пристли это упорядоченное топологическое пространство со специальными свойствами. Пространства Пристли названы в честь Хилари Пристли, которая представила и исследовала их. ^[1] Пространства Пристли играют фундаментальную роль в изучении дистрибутивных решеток . В частности, существует двойственность (« двойственность Пристли »). ^[2]) между категорией пространств Пристли и категорией ограниченных дистрибутивных решеток. ^[3]^[4]

Определение

Пространство Пристли — это упорядоченное топологическое пространство $(X, τ,妻)$ , т.е. множество $X,$ наделенное частичным порядком $\leq$ и топологией $τ$ , удовлетворяющее условиям следующие два условия:

$(X, τ)$ компактен .
Если $\scriptstyle x\,\not \leq \,y$ , то существует замкнуто -замкнутое вверх-множество $U$ пространства $X$ такое, что $x \in U$ и $y \notin U$ . (Это условие известно как аксиома разделения Пристли .)

Свойства пространств Пристли

Каждое пространство Пристли является Хаусдорфом . Действительно, для данных двух точек $x, y$ пространства Пристли $(X, τ,妻)$ , если $x \neq y$ , то, поскольку $\leq$ является частичным порядком, либо $\scriptstyle x\,\not \leq \,y$ или $\scriptstyle y\,\not \leq \,x$ . Полагая, не ограничивая общности, что $\scriptstyle x\,\not \leq \,y$ , (ii) обеспечивает замкнуто-замкнутое множество $U$ множества $X$ такое, что $x \in U$ и $y \notin U$ . Следовательно, $U$ и $V = X - U$ — непересекающиеся открытые подмножества $X,$ разделяющие $x$ и $y$ .
Каждое пространство Пристли также нульмерно ; то есть каждая открытая окрестность $U$ точки $x$ пространства Пристли $(X, τ,\leq)$ содержит замкнуто-замкнутую окрестность $C$ точки $x$ . Чтобы увидеть это, нужно поступить следующим образом. Для каждого $y \in X - U$ либо $\scriptstyle x\,\not \leq \,y$ или $\scriptstyle y\,\not \leq \,x$ . Согласно аксиоме разделения Пристли, существует закрыто-замкнутое множество вверх или открыто-замкнутое вниз множество, содержащее $x$ и отсутствующее $y$ . Пересечение этих замкнуто-замкнутых окрестностей точки $x$ не пересекает $X - U$ . Следовательно, поскольку $X$ компактно, существует конечное пересечение этих замкнуто-замкнутых окрестностей $x,$ в котором отсутствует $X - U$ . Это конечное пересечение является искомой открыто-замкнутой окрестностью $C$ точки $x,$ содержащейся в $U$ .

Отсюда следует, что для каждого пространства Пристли $(X, τ,\leq)$ топологическое пространство $(X, τ)$ является пространством Стоуна ; то есть это компактное хаусдорфово нульмерное пространство.

Некоторые дополнительные полезные свойства пространств Пристли перечислены ниже.

Пусть $(X, τ,妻)$ — пространство Пристли.

(a) Для каждого замкнутого подмножества

F

множества

X

оба

↑ F = {x \in X : y \leq x для некоторого y \in F}

и

↓ F = {x \in X : x \leq y для некоторого y \in F}

являются замкнутыми подмножествами. из

Х.

(b) Каждое открытое верхнее множество

X

является объединением открытозакрытых верхних множеств

X

, а каждое открытое нижнее множество

X

является объединением открытозакрытых нижних множеств

X

.

(c) Каждое замкнутое верхнее множество

X

является пересечением замкнуто-замкнутых верхних множеств

X

, а каждое замкнутое нижнее множество

X

является пересечением замкнуто-замкнутых нижних множеств

X

.

(d) Замкнуто-замкнутые множества

X

образуют подбазис для

(X, τ)

.

(e) Для каждой пары замкнутых подмножеств

F

и

G

в

X

, если

↑ F \cap ↓ G = \emptyset

, то существует открыто-замкнутое вверх-множество

U

такое, что

F \subseteq U

и

U \cap G = \emptyset

.

Морфизм Пристли из пространства Пристли $(X, τ,妻)$ в другое пространство Пристли $(X', τ',妻 )$ — это отображение $f : X \to X',$ которое является непрерывным и сохраняющим порядок .

Обозначим через Приса категорию пространств Пристли и морфизмов Пристли.

Связь со спектральными пространствами

Пространства Пристли тесно связаны со спектральными пространствами . Для пространства Пристли $(X, τ,\leq)$ пусть $τ в$ обозначают совокупность всех открытых множеств $X$ . Аналогично, пусть $τ д$ обозначают совокупность всех открытых множеств $X$ .

Теорема: ^[5]Если $(X, τ,妻)$ — пространство Пристли, то оба $(X, τ в)$ и $(X, τ д)$ являются спектральными пространствами.

Обратно, для данного спектрального пространства $(X, τ)$ пусть $τ #$ обозначаем топологию патча на $X$ ; то есть топология, порожденная подбазисом, состоящим из компактных открытых подмножеств $(X, τ)$ и их дополнений . Пусть также $\leq$ обозначает специализации порядок $(X, τ)$ .

Теорема: ^[6]Если $(X, τ)$ — спектральное пространство, то $(X, τ #,妻)$ является пространством Пристли.

Фактически, это соответствие между пространствами Пристли и спектральными пространствами является функториальным и приводит к изоморфизму между Присом и категорией Spec спектральных пространств и спектральных отображений .

Связь с битопологическими пространствами

Пространства Пристли также тесно связаны с битопологическими пространствами .

Теорема: ^[7]Если $(X, τ,妻)$ — пространство Пристли, то $(X, τ в, т д)$ — парное пространство Стоуна . И наоборот, если $(X, τ 1, τ 2)$ — попарное пространство Стоуна, то $(X, τ,\leq)$ — пространство Пристли, где $τ$ — объединение $τ 1$ и $τ 2$ , а $\leq$ — порядок специализации $(Икс, τ 1)$ .

Соответствие между пространствами Пристли и попарными пространствами Стоуна является функториальным и дает изоморфизм между категорией Приса пространств Пристли и морфизмов Пристли и категорией PStone попарных пространств Стоуна и бинепрерывных отображений .

Таким образом, имеют место следующие изоморфизмы категорий:

$\mathbf {Spec} \cong \mathbf {Pries} \cong \mathbf {PStone}$

Одним из основных следствий теории двойственности для дистрибутивных решеток является то, что каждая из этих категорий дуально эквивалентна категории ограниченных дистрибутивных решеток .

См. также

Примечания

^ Пристли (1970).
^ Чиньоли, Р.; Лафальс, С.; Петрович, А. (сентябрь 1991 г.). «Замечания о двойственности Пристли для дистрибутивных решеток». Заказ . 8 (3): 299–315. дои : 10.1007/BF00383451 .
^ Корниш (1975).
^ Bezhanishvili et al. (2010)
^ Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).
^ Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).
^ Bezhanishvili et al. (2010).

Ссылки

Пристли, ХА (1970). «Представление дистрибутивных решеток посредством упорядоченных пространств Стоуна». Бык. Лондонская математика. Соц . 2 (2): 186–190. дои : 10.1112/blms/2.2.186 .
Пристли, ХА (1972). «Упорядоченные топологические пространства и представление дистрибутивных решеток» (PDF) . Учеб. Лондонская математика. Соц . 24 (3): 507–530. дои : 10.1112/plms/s3-24.3.507 . hdl : 10338.dmlcz/134149 .
Корниш, штат Вашингтон (1975). «О двойственной Г. Пристли категории ограниченных дистрибутивных решеток» . Мат. Весник . 12 (27): 329–332.
Хохстер, М. (1969). «Первичная идеальная структура в коммутативных кольцах» . Пер. амер. Математика. Соц . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X .
Бежанишвили Г.; Бежанишвили Н.; Габелая, Д.; Курц, А (2010). «Битопологическая двойственность дистрибутивных решеток и алгебр Гейтинга» (PDF) . Математические структуры в информатике . 20 .
Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства . Новые математические монографии. Том. 35. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781316543870 . ISBN 978-1-107-14672-3 .

[1] Пристли (1970).

[2] Чиньоли, Р.; Лафальс, С.; Петрович, А. (сентябрь 1991 г.). «Замечания о двойственности Пристли для дистрибутивных решеток». Заказ . 8 (3): 299–315. дои : 10.1007/BF00383451 .

[3] Корниш (1975).

[4] Bezhanishvili et al. (2010)

[5] Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).

[6] Cornish, (1975). Bezhanishvili et al. (2010).

[7] Bezhanishvili et al. (2010).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]