Подбаза

Эта статья об объекте математической топологии. Чтобы узнать о термине «дорожное строительство», см. Основание (тротуар) . Информацию о частотном диапазоне см. в разделе «Суббас» .

В топологии — подбаза (или суббазис , пребаза , пребазис ) топологического пространства. $X$ с топологией $\tau$ это подколлекция $B$ из $\tau$ который генерирует $\tau ,$ в том смысле, что $\tau$ это наименьшая топология, содержащая $B$ как открытые множества. Некоторые авторы используют немного другое определение, и существуют другие полезные эквивалентные формулировки этого определения; они обсуждаются ниже.

Определение

Позволять $X$ быть топологическим пространством с топологией $\tau .$ Подбаза из $\tau$ обычно определяется как подколлекция $B$ из $\tau$ удовлетворяющее одному из двух следующих эквивалентных условий:

1. Подколлекция $B$ генерирует топологию $\tau .$ Это означает, что $\tau$ это наименьшая топология, содержащая $B$: любая топология $\tau ^{\prime }$ на $X$ содержащий $B$ также должен содержать $\tau .$
2. Совокупность открытых множеств, состоящих из всех конечных пересечений элементов $B$ составляет основу для $\tau .$ Это означает, что каждое правильное открытое множество в $\tau$ можно записать как объединение конечных пересечений элементов $B.$ Явно, учитывая точку $x$ в открытом наборе $U\subsetneq X,$ существует конечное число множеств $S_{1},\ldots ,S_{n}$ из $B,$ такие, что пересечение этих множеств содержит $x$ и содержится в $U.$

(Если мы используем соглашение о нулевом пересечении , то нет необходимости включать $X$ во втором определении.)

Для любой подколлекции $S$ из силового набора $\wp (X),$ существует уникальная топология, имеющая $S$ в качестве подоснования. В частности, пересечение всех топологий на $X$ содержащий $S$ удовлетворяет этому условию. Однако в целом для данной топологии не существует уникальной подбазиса.

Таким образом, мы можем начать с фиксированной топологии и найти подбазы для этой топологии, а также можем начать с произвольной подгруппы набора степеней. $\wp (X)$ и сформировать топологию, созданную этой подколлекцией. Мы можем свободно использовать любое эквивалентное определение, приведенное выше; действительно, во многих случаях одно из двух условий более полезно, чем другое.

Альтернативное определение

Реже дается несколько иное определение подоснования, которое требует, чтобы подоснование ${\mathcal {B}}$ крышка $X.$ В этом случае, $X$ является объединением всех множеств, содержащихся в ${\mathcal {B}}.$ Это означает, что не может быть никакой путаницы относительно использования нулевых пересечений в определении.

Однако это определение не всегда эквивалентно двум определениям, приведенным выше. Существуют топологические пространства $(X,\tau )$ с подколекциями ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ топологии такой, что $\tau$ это наименьшая топология, содержащая ${\mathcal {B}}$, еще ${\mathcal {B}}$ не покрывает $X$. (Пример приведен в конце следующего раздела.) На практике это редкое явление. Например, подбаза пространства, имеющая по крайней мере две точки и удовлетворяющая T _1, аксиоме разделения должна быть покрытием этого пространства. Но, как показано ниже, чтобы доказать теорему Александера о суббазе , надо предположить, что ${\mathcal {B}}$ обложки $X.$

Примеры

Топология, созданная любым подмножеством ${\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}$ (в том числе по пустому множеству ${\mathcal {S}}:=\varnothing$) равна тривиальной топологии $\{\varnothing ,X\}.$

Если $\tau$ это топология на $X$ и ${\mathcal {B}}$ является основой для $\tau$ то топология, сгенерированная ${\mathcal {B}}$ является $\tau .$ Таким образом, любое основание ${\mathcal {B}}$ для топологии $\tau$ также является основой для $\tau .$ Если ${\mathcal {S}}$ это любое подмножество $\tau$ то топология, сгенерированная ${\mathcal {S}}$ будет подмножеством $\tau .$

Обычная топология на вещественных числах $\mathbb {R}$ имеет подбазу, состоящую из всех полубесконечных открытых интервалов любого вида $(-\infty ,a)$ или $(b,\infty ),$ где $a$ и $b$ являются действительными числами. Вместе они образуют обычную топологию, поскольку пересечения $(a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )$ для $a\leq b$ сгенерировать обычную топологию. Вторая подбаза формируется путем взятия подсемейства, где $a$ и $b$ рациональны ​ . Вторая подбаза также порождает обычную топологию, поскольку открытые интервалы $(a,b)$ с $a,$ $b$ рациональные, являются основой обычной евклидовой топологии.

Подбаза, состоящая из всех полубесконечных открытых интервалов вида $(-\infty ,a)$ один, где $a$ является действительным числом, не создает обычную топологию. Полученная топология не удовлетворяет T ₁ аксиоме разделения , поскольку если $a<b$ каждое открытое множество, содержащее $b$ также содержит $a.$

Начальная топология на $X$ определяется семейством функций $f_{i}:X\to Y_{i},$ где каждый $Y_{i}$ имеет топологию, является самой грубой топологией на $X$ такой, что каждый $f_{i}$ является непрерывным . Поскольку непрерывность может быть определена через прообразы открытых множеств, это означает, что исходная топология на $X$ дается путем принятия всех $f_{i}^{-1}(U),$где $U$ распространяется по всем открытым подмножествам $Y_{i},$ в качестве подосновы.

Двумя важными частными случаями исходной топологии являются топология произведения , где семейство функций представляет собой набор проекций произведения на каждый фактор, и топология подпространства , где семейство состоит только из одной функции, карты включения .

Компактно -открытая топология в пространстве непрерывных функций из $X$ к $Y$ имеет для подбазы набор функций $$V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}$$где $K\subseteq X$ компактен ​ и $U$ является открытым подмножеством $Y.$

Предположим, что $(X,\tau )$ является топологическим пространством Хаусдорфа с $X$ содержащий два или более элементов (например, $X=\mathbb {R}$ с евклидовой топологией ). Позволять $Y\in \tau$ быть любым непустым открытым подмножеством $(X,\tau )$ (например, $Y$ может быть непустым ограниченным открытым интервалом в $\mathbb {R}$) и пусть $\nu$ обозначим топологию подпространства на $Y$ что $Y$ наследует от $(X,\tau )$ (так $\nu \subseteq \tau$). Тогда топология, порожденная $\nu$ на $X$ равно союзу $\{X\}\cup \nu$ (см. сноску для объяснения), где $\{X\}\cup \nu \subseteq \tau$ (с $(X,\tau )$ является Хаусдорфом, равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда $Y=X$). Обратите внимание, что если $Y$ является правильным подмножеством $X,$ затем $\{X\}\cup \nu$ это наименьшая топология на $X$ содержащий $\nu$ еще $\nu$ не покрывает $X$ (то есть союз $\bigcup _{V\in \nu }V=Y$ является правильным подмножеством $X$).

Результаты с использованием подбаз

Один приятный факт о подбазах заключается в том, что непрерывность функции необходимо проверять только на подбазе диапазона. То есть, если $f:X\to Y$ является отображением топологических пространств, и если ${\mathcal {B}}$ является основой для $Y,$ затем $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f^{-1}(B)$ открыт в $X$ для каждого $B\in {\mathcal {B}}.$ Сеть последовательность или ) ( $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ сходится к точке $x$ тогда и только тогда, когда каждая суббазисная окрестность $x$ содержит все $x_{i}$ для достаточно большого $i\in I.$

Теорема Александера о подбазисах

Теорема Александера о подбазах — важный результат, касающийся подбаз, принадлежит Джеймсу Уодделлу Александру II . Соответствующий результат для базовых (а не суббазовых) открытых накрытий доказать гораздо проще.

Теорема Александера о подбазисе : Позволять $(X,\tau )$ быть топологическим пространством. Если $X$ имеет подоснову ${\mathcal {S}}$ так, что каждое покрытие $X$ по элементам из ${\mathcal {S}}$ имеет конечное подпокрытие, то $X$ компактен ​ .

Обратное утверждение этой теоремы также справедливо и доказывается с помощью ${\mathcal {S}}=\tau$ (поскольку каждая топология является подбазисом самой себе).

Если $X$ компактен и ${\mathcal {S}}$ является подосновой для $X,$ каждая обложка $X$ по элементам из ${\mathcal {S}}$ имеет конечное подпокрытие.

show Доказательство

Suppose for the sake of contradiction that the space $X$ is not compact (so $X$ is an infinite set), yet every subbasic cover from ${\mathcal {S}}$ has a finite subcover. Let $\mathbb {S}$ denote the set of all open covers of $X$ that do not have any finite subcover of $X.$ Partially order $\mathbb {S}$ by subset inclusion and use Zorn's Lemma to find an element ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S}$ that is a maximal element of $\mathbb {S} .$ Observe that: Since ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,$ by definition of $\mathbb {S} ,$ ${\mathcal {C}}$ is an open cover of $X$ and there does not exist any finite subset of ${\mathcal {C}}$ that covers $X$ (so in particular, ${\mathcal {C}}$ is infinite). The maximality of ${\mathcal {C}}$ in $\mathbb {S}$ implies that if $V$ is an open set of $X$ such that $V\not \in {\mathcal {C}}$ then ${\mathcal {C}}\cup \{V\}$ has a finite subcover, which must necessarily be of the form $\{V\}\cup {\mathcal {C}}_{V}$ for some finite subset ${\mathcal {C}}_{V}$ of ${\mathcal {C}}$ (this finite subset depends on the choice of $V$). We will begin by showing that ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ is not a cover of $X.$ Suppose that ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ was a cover of $X,$ which in particular implies that ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ is a cover of $X$ by elements of ${\mathcal {S}}.$ The theorem's hypothesis on ${\mathcal {S}}$ implies that there exists a finite subset of ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ that covers $X,$ which would simultaneously also be a finite subcover of $X$ by elements of ${\mathcal {C}}$ (since ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}$). But this contradicts ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,$ which proves that ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ does not cover $X.$ Since ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ does not cover $X,$ there exists some $x\in X$ that is not covered by ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ (that is, $x$ is not contained in any element of ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$). But since ${\mathcal {C}}$ does cover $X,$ there also exists some $U\in {\mathcal {C}}$ such that $x\in U.$ Since ${\mathcal {S}}$ is a subbasis generating $X$'s topology, from the definition of the topology generated by ${\mathcal {S}},$ there must exist a finite collection of subbasic open sets $S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}$ such that$$x\in S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U.$$ We will now show by contradiction that $S_{i}\not \in {\mathcal {C}}$ for every $i=1,\ldots ,n.$ If $i$ was such that $S_{i}\in {\mathcal {C}},$ then also $S_{i}\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$ so the fact that $x\in S_{i}$ would then imply that $x$ is covered by ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}},$ which contradicts how $x$ was chosen (recall that $x$ was chosen specifically so that it was not covered by ${\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}$). As mentioned earlier, the maximality of ${\mathcal {C}}$ in $\mathbb {S}$ implies that for every $i=1,\ldots ,n,$ there exists a finite subset ${\mathcal {C}}_{S_{i}}$ of ${\mathcal {C}}$ such that$\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{S_{i}}$ forms a finite cover of $X.$ Define$${\mathcal {C}}_{F}:={\mathcal {C}}_{S_{1}}\cup \cdots \cup {\mathcal {C}}_{S_{n}},$$which is a finite subset of ${\mathcal {C}}.$ Observe that for every $i=1,\ldots ,n,$ $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ is a finite cover of $X$ so let us replace every ${\mathcal {C}}_{S_{i}}$ with ${\mathcal {C}}_{F}.$ Let $\cup {\mathcal {C}}_{F}$ denote the union of all sets in ${\mathcal {C}}_{F}$ (which is an open subset of $X$) and let $Z$ denote the complement of $\cup {\mathcal {C}}_{F}$ in $X.$ Observe that for any subset $A\subseteq X,$ $\{A\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ covers $X$ if and only if $Z\subseteq A.$ In particular, for every $i=1,\ldots ,n,$ the fact that $\left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ covers $X$ implies that $Z\subseteq S_{i}.$ Since $i$ was arbitrary, we have $Z\subseteq S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}.$ Recalling that $S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U,$ we thus have $Z\subseteq U,$ which is equivalent to $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ being a cover of $X.$ Moreover, $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}$ is a finite cover of $X$ with $\{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}\subseteq {\mathcal {C}}.$ Thus ${\mathcal {C}}$ has a finite subcover of $X,$ which contradicts the fact that ${\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .$ Therefore, the original assumption that $X$ is not compact must be wrong, which proves that $X$ is compact. $\blacksquare$

Хотя это доказательство использует лемму Цорна , оно не требует полной силы выбора. Вместо этого он основан на промежуточном принципе ультрафильтра .

Используя эту теорему с подбазой для $\mathbb {R}$ выше, можно дать очень простое доказательство того, что ограниченные замкнутые интервалы в $\mathbb {R}$ компактны. В более общем смысле, теорема Тихонова , которая утверждает, что произведение непустых компактов компактно, имеет короткое доказательство, если используется теорема Александера о суббазе.

show Доказательство

The product topology on $\prod _{i}X_{i}$ has, by definition, a subbase consisting of cylinder sets that are the inverse projections of an open set in one factor. Given a subbasic family $C$ of the product that does not have a finite subcover, we can partition $C=\cup _{i}C_{i}$ into subfamilies that consist of exactly those cylinder sets corresponding to a given factor space. By assumption, if $C_{i}\neq \varnothing$ then $C_{i}$ does not have a finite subcover. Being cylinder sets, this means their projections onto $X_{i}$ have no finite subcover, and since each $X_{i}$ is compact, we can find a point $x_{i}\in X_{i}$ that is not covered by the projections of $C_{i}$ onto $X_{i}.$ But then $\left(x_{i}\right)_{i}\in \prod _{i}X_{i}$ is not covered by $C.$ $\blacksquare$ Note, that in the last step we implicitly used the axiom of choice (which is actually equivalent to Zorn's lemma) to ensure the existence of $\left(x_{i}\right)_{i}.$

См. также

• База (топология) - совокупность открытых наборов, используемых для определения топологии.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .