Специализация (предварительный заказ)

В разделе математики , известном как топология , специализации (или канонический ) предварительный порядок является естественным предварительным порядком на множестве точек топологического пространства . Для большинства пространств, рассматриваемых на практике, а именно для всех тех, которые удовлетворяют T ₀ аксиоме разделения , этот предпорядок является даже частичным порядком (называемым порядком специализации ). С другой стороны, для T ₁ пространств порядок становится тривиальным и не представляет особого интереса.

Порядок специализации часто рассматривается в приложениях в информатике , где пространства T0 _{встречаются} в денотационной семантике . Порядок специализации также важен для определения подходящих топологий на частично упорядоченных множествах, как это делается в теории порядка .

и

Рассмотрим любое топологическое X. пространство Предпорядок специализации ≤ на X связывает две точки X , когда одна из них лежит в замыкании другой. Однако различные авторы расходятся во мнениях относительно того, в каком «направлении» должен двигаться приказ. Что согласовано это если

x содержится в cl{ y },

(где cl{ y } обозначает замыкание одноэлементного множества { y }, т.е. всех замкнутых множеств содержащих { y }), мы говорим, что x является специализацией y пересечение и что y является обобщением x , ; обычно это пишут y ⤳ x .

К сожалению, свойство « x является специализацией y попеременно записывается как « x ≤ y » и как « y ≤ x » (см. соответственно, » разными авторами и ).

Оба определения имеют интуитивное обоснование: в случае первого мы имеем

x ≤ y тогда и только тогда, когда cl{ x } ⊆ cl{ y }.

Однако в случае, когда наше пространство X является простым спектром Spec R коммутативного кольца R (что является мотивационной ситуацией в приложениях, связанных с алгебраической геометрией ), тогда согласно нашему второму определению порядка мы имеем

y ⩽ x тогда и только тогда, когда y ⊆ x как простые идеалы кольца R .

Ради последовательности в оставшейся части этой статьи мы будем использовать первое определение: « x является специализацией y », которое будет записано как x ≤ y . Затем мы видим,

x ≤ y тогда и только тогда, когда x содержится во всех замкнутых множествах , содержащих y .

x ≤ y тогда и только тогда, когда y содержится во всех открытых множествах , содержащих x .

Эти повторения помогают объяснить, почему говорят о «специализации»: y более общий, чем x , поскольку он содержится в более открытых множествах. Это особенно интуитивно понятно, если рассматривать замкнутые множества как свойства, которыми точка x может обладать или не обладать . Чем больше замкнутых множеств содержит точку, тем больше свойств она имеет и тем более особенной она является. Использование согласуется с классическими логическими понятиями рода и вида ; а также с традиционным использованием общих точек в алгебраической геометрии , в которых наиболее конкретными являются закрытые точки, в то время как общая точка пространства — это точка, содержащаяся в каждом непустом открытом подмножестве. Идея специализации применяется и в теории оценки .

Интуитивное представление о том, что верхние элементы являются более конкретными, обычно встречается в теории доменов , разделе теории порядка, который имеет широкое применение в информатике.

Верхний и нижний наборы

Пусть X — топологическое пространство и пусть ≤ — предпорядок специализации на X . Каждое открытое множество является верхним по отношению к ≤, а каждое закрытое множество — нижним . Обратные утверждения, как правило, неверны. Фактически, топологическое пространство является дискретным по Александрову тогда и только тогда, когда каждое верхнее множество также открыто (или, что то же самое, каждое нижнее множество также закрыто).

Пусть A подмножество X. — Наименьшее верхнее множество, содержащее A, обозначается ↑ A а наименьшее нижнее множество, содержащее , обозначается ↓ A. A В случае, если A = { x } является одноэлементным, используются обозначения ↑ x и ↓ x . Для x ∈ X имеем:

• ↑ x = { y ∈ X : x ≤ y } = ∩{открытые множества, содержащие x }.
• ↓ x = { y ∈ X : y ≤ x } = ∩{замкнутые множества, содержащие x } = cl{ x }.

Нижнее множество ↓ x всегда закрыто; однако верхний набор ↑ x не обязательно должен быть открытым или закрытым. Замкнутые точки топологического пространства X это в точности минимальные элементы X — относительно ≤.

Примеры

• В пространстве Серпинского {0,1} с открытыми множествами {∅, {1}, {0,1}} порядок специализации является естественным (0 ⩽ 0, 0 ⩽ 1 и 1 ⩽ 1).
• Если p , q — элементы Spec( R ) ( спектра коммутативного кольца R ), то p ⩽ q тогда и только тогда, когда q ⊆ p (как простые идеалы ). Таким образом, замкнутые точки Spec( R ) являются в точности максимальными идеалами .

Важные свойства

Как следует из названия, предварительный порядок специализации является предварительным порядком, т. е. он рефлексивен и транзитивен .

, Отношение эквивалентности определяемое предпорядком специализации, представляет собой не что иное, как отношение топологической неотличимости . То есть x и y топологически неразличимы тогда и только тогда, когда x ⩽ y и y ⩽ x . Следовательно, антисимметрия ≤ — это в точности аксиома разделения T ₀ : если x и y неразличимы, то x = y . В этом случае оправданно говорить о порядке специализации .

С другой стороны, симметрия предпорядка специализации эквивалентна аксиоме разделения R ₀ : x ≤ y тогда и только тогда, когда x и y топологически неразличимы. Отсюда следует, что если базовой топологией является T ₁ , то порядок специализации дискретен, т. е. x ⩽ y тогда и только тогда, когда x = y . Следовательно, порядок специализации не представляет особого интереса для топологий T1 _, особенно для всех хаусдорфовых пространств .

Любая непрерывная функция $f$ между двумя топологическими пространствами монотонна относительно предпорядков специализации этих пространств: $x\leq y$ подразумевает $f(x)\leq f(y).$ Обратное, однако, в целом неверно. На языке теории категорий тогда у нас есть функтор из категории топологических пространств в категорию предупорядоченных множеств , который присваивает топологическому пространству его предварительный порядок специализации. Этот функтор имеет левый сопряженный , который помещает топологию Александрова в заранее упорядоченный набор.

Существуют пространства, более специфичные, чем пространства T ₀ , для которых этот порядок представляет интерес: трезвые пространства . Их связь с порядком специализации более тонкая:

Для любого трезвого пространства X с порядком специализации ≤ имеем

• ( X , ≤) является направленным полным частичным порядком , т.е. каждое направленное подмножество S из ( X , ≤) имеет верхнюю грань sup S ,
• для каждого направленного подмножества S из ( X , ≤) и каждого открытого множества O , если sup S находится в O , то S и O имеют непустое пересечение .

Второе свойство можно описать, сказав, что открытые множества недоступны направленным супремамам . Топология является согласованной по порядку относительно определенного порядка ≤, если она индуцирует ≤ в качестве своего порядка специализации и обладает указанным выше свойством недоступности относительно (существующих) супремумов направленных множеств в ≤.

Топологии по заказам

Порядок специализации дает инструмент для получения предварительного порядка из каждой топологии. Естественно задать и обратный вопрос: получается ли каждый предварительный порядок как предварительный порядок специализации некоторой топологии?

Действительно, ответ на этот вопрос положительный, и вообще существует множество топологий на множестве X , которые индуцируют заданный порядок ≤ в качестве порядка специализации. Топология Александрова порядка ≤ играет особую роль: это тончайшая топология, индуцирующая ≤. Другая крайность, самая грубая топология, индуцирующая ≤, — это верхняя топология , наименьшая топология, внутри которой все дополнения множеств ↓ x (для некоторого x в X ) открыты.

Между этими двумя крайностями существуют также интересные топологии. Наилучшей трезвой топологией, которая порядково непротиворечива в указанном выше смысле для данного порядка ≤, является топология Скотта . Однако верхняя топология по-прежнему остается самой грубой, строгой и упорядоченной топологией. Фактически, его открытые множества недоступны даже никаким супремамам. Следовательно, любое трезвое пространство с порядком специализации ≤ тоньше верхней топологии и грубее топологии Скотта. Однако такое пространство может не существовать, то есть существуют частичные порядки, для которых не существует трезвой, непротиворечивой по порядку топологии. В частности, топология Скотта не обязательно является трезвой.

Ссылки

• М.М. Бонсанге, Топологическая двойственность в семантике , том 8 электронных заметок по теоретической информатике , 1998. Переработанная версия авторской диссертации доктора философии. диссертация. Доступно в Интернете , см. особенно главу 5, в которой объясняются мотивы с точки зрения денотационной семантики в информатике. автора См. также домашнюю страницу .