Категория предзаказанных наборов
 |
В математике категория , Ord имеет предварительно упорядоченные множества как объекты и функции, сохраняющие порядок как морфизмы . Это категория, потому что композиция двух функций, сохраняющих порядок, сохраняет порядок, а тождественная карта сохраняет порядок.
Мономорфизмы в — Ord это инъективные функции, сохраняющие порядок.
Пустой набор (рассматриваемый как предварительно упорядоченный набор) является начальным объектом Ord , а конечные объекты представляют собой в точности одноэлементные предварительно упорядоченные наборы. нет нулевых объектов Таким образом, в Ord .
Категориальный продукт в Ord определяется порядком продукта в декартовом продукте .
У нас есть забывчивый функтор Ord → Set , который присваивает каждому предупорядоченному множеству базовый набор , а каждой функции, сохраняющей порядок, — базовую функцию . Этот функтор точен , и поэтому Ord является конкретной категорией . Этот функтор имеет левый сопряженный (отправляет каждый набор в этот набор, снабженный отношением равенства) и правый сопряженный (отправляет каждый набор в этот набор, оснащенный полным отношением).
2-категорийная структура [ править ]
Набор морфизмов (функций, сохраняющих порядок) между двумя предпорядками на самом деле имеет большую структуру, чем набор. Его можно превратить в предварительно упорядоченный набор с помощью поточечного отношения:
- ( ж ≤ г ) ⇔ (∀ Икс ж ( Икс ) ≤ г ( Икс ))
Это предупорядоченное множество, в свою очередь, можно рассматривать как категорию, что делает Ord ( 2-категорией дополнительные аксиомы 2-категории тривиально выполняются, поскольку любое уравнение параллельных морфизмов истинно в посетальной категории ).
При такой 2-категорной структуре псевдофунктор F из категории C в Ord задается теми же данными, что и 2-функтор, но имеет ослабленные свойства:
- ∀ Икс ∈ F( А ), F( id A )( Икс ) ≃ Икс ,
- ∀ x ∈ F( A ), F( г ∘ f )( x ) ≃ F( g )(F( f )( x )),
где x ≃ y означает x ≤ y и y ≤ x .