Посетальная категория
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( январь 2016 г. ) |
В математике , особенно в теории категорий , существует постульная категория , или тонкая категория . [1] — категория которой , каждое гомомножество содержит не более одного морфизма. [2] По существу, посетальная категория представляет собой предупорядоченный класс (или предупорядоченный набор , если его объекты образуют набор ). Как следует из названия, дополнительное требование о том, чтобы категория была скелетной для определения «посетального» часто предполагается ; в случае посетальной категории ее скелетность эквивалентна требованию, чтобы единственные изоморфизмы были тождественными морфизмами, что эквивалентно тому, что предупорядоченный класс удовлетворяет антисимметрии и, следовательно, если набор является частично упорядоченным множеством .
Все диаграммы коммутируют в посетальной категории. Когда коммутативные диаграммы категории интерпретируются как типизированная эквациональная теория, объектами которой являются типы, кодискретная посетальная категория соответствует противоречивой теории, понимаемой как теория, удовлетворяющая аксиоме x = y во всех типах.
Если рассматривать 2-категорию как обогащенную категорию , чьи hom-объекты являются категориями, hom-объекты любого расширения посетальной категории до 2-категории, имеющей те же 1-ячейки, являются моноидами .
Некоторые структуры теории решетки можно определить как посетальные категории определенного типа, обычно с более сильным предположением о том, что они являются скелетными. Например, при этом предположении ЧУМ может быть определен как малая посетальная категория, дистрибутивная решётка — как малая посетальная дистрибутивная категория , алгебра Гейтинга — как малая посетальная конечно кополная декартова замкнутая категория , а булева алгебра — как маленькая посетальная конечно кополная замкнутая категория. кополная *-автономная категория . И наоборот, категории, дистрибутивные категории, конечно кополные декартовы замкнутые категории и конечно кополные *-автономные категории можно считать соответствующими категорификациями частично упорядоченных множеств, дистрибутивных решеток, алгебр Гейтинга и булевых алгебр.
Ссылки [ править ]
- ^ Тонкая категория в n Lab
- ^ Роман, Стивен (2017). Введение в язык теории категорий . Компактные учебники по математике. Чам: Международное издательство Springer. п. 5. дои : 10.1007/978-3-319-41917-6 . ISBN 978-3-319-41916-9 .