Категория распространения

В математике категория если является дистрибутивной, она имеет конечные произведения и конечные копроизведения и такая, что для каждого выбора объектов $A,B,C$ , каноническое отображение

[{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{1},{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{2}]:A\!\times \!B\,+A\!\times \!C\to A\!\times \!(B+C)

является изоморфизмом , и для всех объектов $A$ , каноническое отображение $0\to A\times 0$ является изоморфизмом (где 0 обозначает исходный объект ). Эквивалентно, если для каждого объекта $A$ эндофунктор $A\times -$ определяется $B\mapsto A\times B$ сохраняет копроизведения с точностью до изоморфизмов $f$ . ^[1] Отсюда следует, что $f$ и вышеупомянутые канонические карты одинаковы для каждого выбора объектов.

В частности, если функтор $A\times -$ имеет правый сопряженный (т. е. если категория декартово замкнутая ), она обязательно сохраняет все копределы , и, таким образом, любая декартова замкнутая категория с конечными копроизведениями (т. е. любая бикартова замкнутая категория ) является дистрибутивной.

Пример [ править ]

Категория множеств является дистрибутивной. Пусть A , B и C — множества . Затем

{\begin{aligned}A\times (B\amalg C)&=\{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\}\amalg \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned}}

где $\amalg$ обозначает копроизведение в Set , а именно непересекающееся объединение , и $\cong$ обозначает биекцию . В случае, когда A , B и C являются конечными множествами , этот результат отражает свойство дистрибутивности : каждое из вышеуказанных множеств имеет мощность. $|A|\cdot (|B|+|C|)=|A|\cdot |B|+|A|\cdot |C|$ .

Категории Grp и Ab не являются распределительными, хотя в них есть как продукты, так и сопутствующие продукты.

Еще более простая категория, которая имеет как продукты, так и копроизведения, но не является распределительной, — это категория точечных множеств . ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики . Издательство Кембриджского университета. п. 275.
^ Ф. В. Ловере; Стивен Хоэл Шануэль (2009). Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 296–298 . ISBN 978-0-521-89485-2 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кокетт, JRB (1993). «Введение в распределительные категории» . Математические структуры в информатике . 3 (3): 277–307. дои : 10.1017/S0960129500000232 .
Карбони, Аурелио (1993). «Введение в экстенсивные и распределительные категории» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 84 (2): 145–158. дои : 10.1016/0022-4049(93)90035-R .

Эта теории категорий статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики . Издательство Кембриджского университета. п. 275.

[LawvereSchanuel2009-2] Ф. В. Ловере; Стивен Хоэл Шануэль (2009). Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 296–298 . ISBN 978-0-521-89485-2 .

[1]

[2]