Топологическая векторная решетка

В математике, особенно в функциональном анализе и теории порядка , топологическая векторная решетка представляет собой Хаусдорфа топологическое векторное пространство (TVS). $X$ у которого есть частичный порядок $\,\leq \,$ превращая его в векторную решетку , которая имеет базу окрестностей в начале координат, состоящую из твердых множеств . Упорядоченные векторные решетки имеют важные приложения в спектральной теории .

Определение

Если $X$ является векторной решеткой, то под операциями на векторной решетке будем понимать следующие отображения:

1. три карты $X$ самому себе определяемому $x\mapsto |x|$, $x\mapsto x^{+}$, $x\mapsto x^{-}$, и
2. две карты из $X\times X$ в $X$ определяется $(x,y)\mapsto \sup _{}\{x,y\}$ и $(x,y)\mapsto \inf _{}\{x,y\}$.

Если $X$ является TVS над вещественными числами и векторной решеткой, тогда $X$ является локально сплошным тогда и только тогда, когда (1) его положительный конус является нормальным конусом и (2) операции на векторной решетке непрерывны.

Если $X$ является векторной решеткой и упорядоченным топологическим векторным пространством , которое является пространством Фреше , в котором положительный конус является нормальным конусом , то операции решетки непрерывны.

Если $X$ является топологическим векторным пространством (TVS) и упорядоченным векторным пространством , тогда $X$ называется локально твердым, если $X$ имеет базу окрестностей в начале координат, состоящую из твердых множеств . Топологическая векторная решетка представляет собой Хаусдорфа . ТВС $X$ у которого есть частичный порядок $\,\leq \,$ превращая его в векторную решетку , которая является локально сплошной.

Свойства

Каждая топологическая векторная решетка имеет замкнутый положительный конус и, таким образом, является упорядоченным топологическим векторным пространством . Позволять ${\mathcal {B}}$ обозначаем множество всех ограниченных подмножеств топологической векторной решетки с положительным конусом $C$ и для любого подмножества $S$, позволять $[S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)$ быть $C$-насыщенный корпус $S$. Тогда положительный конус топологической векторной решетки $C$ является строгим ${\mathcal {B}}$-конус, где $C$ является строгим ${\mathcal {B}}$-конус означает, что $\left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}$ является фундаментальным подсемейством ${\mathcal {B}}$ то есть каждый $B\in {\mathcal {B}}$ содержится как подмножество некоторого элемента $\left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}$).

Если топологическая векторная решетка $X$ если заказ завершен , то каждая полоса закрыта $X$.

Примеры

Л ​ ^п пробелы ( $1\leq p\leq \infty$) являются банаховыми решетками при их каноническом упорядочении. Эти помещения укомплектованы под заказ $p<\infty$.

См. также

• Банахова решетка - банахово пространство с совместимой структурой решетки.
• Дополненная решетка
• Решетка Фреше - Топологическая векторная решетка
• Локально выпуклая векторная решетка
• Нормированная решетка
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
• Псевдодополнение
• Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .