Упорядоченное векторное пространство

Точка $x$ в $\mathbb {R} ^{2}$ и набор всего $y$ такой, что $x\leq y$(в красном). Порядок здесь такой $x\leq y$ если и только если $x_{1}\leq y_{1}$ и $x_{2}\leq y_{2}.$

В математике упорядоченное векторное пространство или частично упорядоченное векторное пространство — это векторное пространство , имеющее частичный порядок , совместимый с операциями векторного пространства.

Определение

Учитывая векторное пространство $X$ над реальными цифрами $\mathbb {R}$ и предзаказ $\,\leq \,$ на съемочной площадке $X,$ пара $(X,\leq )$ называется предупорядоченным векторным пространством , и мы говорим, что предупорядоченный векторное пространство $\,\leq \,$ совместим со структурой векторного пространства $X$ и позвони $\,\leq \,$ векторный предзаказ на $X$ если для всех $x,y,z\in X$ и $r\in \mathbb {R}$ с $r\geq 0$ следующие две аксиомы выполняются

1. $x\leq y$ подразумевает $x+z\leq y+z,$
2. $y\leq x$ подразумевает $ry\leq rx.$

Если $\,\leq \,$ является частичным порядком , совместимым со структурой векторного пространства $X$ затем $(X,\leq )$ называется упорядоченным векторным пространством и $\,\leq \,$ называется векторным частичным порядком на $X.$ Из двух аксиом следует, что сдвиги и положительные гомотетии являются автоморфизмами структуры порядка и отображения $x\mapsto -x$является изоморфизмом структуры двойственного порядка . Упорядоченные векторные пространства представляют собой упорядоченные группы при операции сложения. Обратите внимание, что $x\leq y$ если и только если $-y\leq -x.$

порядкам

Подмножество ​ $C$ векторного пространства $X$ называется конусом , если для всех действительный $r>0,$ $rC\subseteq C.$Конус называется заостренным , если он содержит начало координат. Конус $C$ выпукло тогда и только тогда, когда $C+C\subseteq C.$Пересечение ; любого непустого семейства конусов (соответственно выпуклых конусов) снова является конусом (соответственно выпуклым конусом) то же самое относится и к объединению возрастающего (при включении множества ) семейства конусов (соответственно выпуклых конусов). Конус $C$ в векторном пространстве $X$ называется порождающим , если $X=C-C.$

Учитывая предупорядоченное векторное пространство $X,$ подмножество $X^{+}$ всех элементов $x$ в $(X,\leq )$ удовлетворяющий $x\geq 0$ представляет собой заостренный выпуклый конус с вершиной $0$ (то есть содержит $0$) называется положительным конусом $X$ и обозначается $\operatorname {PosCone} X.$Элементы положительного конуса называются положительными . Если $x$ и $y$ являются элементами предупорядоченного векторного пространства $(X,\leq ),$ затем $x\leq y$ если и только если $y-x\in X^{+}.$ Положительный конус является порождающим тогда и только тогда, когда $X$ представляет собой направленное множество под $\,\leq .$ Дан любой заостренный выпуклый конус $C$ с вершиной $0,$ можно определить предварительный заказ $\,\leq \,$ на $X$ которое совместимо со структурой векторного пространства $X$ объявив для всех $x,y\in X,$ что $x\leq y$ если и только если $y-x\in C;$ положительный конус этого результирующего предупорядоченного векторного пространства равен $C.$ Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между заостренными выпуклыми конусами с вершиной $0$ и векторные предзаказы на $X.$ Если $X$ предупорядочен, то мы можем сформировать отношение эквивалентности на $X$ определяя $x$ эквивалентно $y$ если и только если $x\leq y$ и $y\leq x;$ если $N$ — класс эквивалентности , содержащий начало координат, тогда $N$ является векторным подпространством $X$ и $X/N$ является упорядоченным векторным пространством относительно соотношения: $A\leq B$ если и только существует $a\in A$ и $b\in B$ такой, что $a\leq b.$

Подмножество $C$ векторного пространства $X$ называется собственным конусом , если он является выпуклым конусом с вершиной $0$ удовлетворяющий $C\cap (-C)=\{0\}.$ Явно, $C$ является собственным конусом, если (1) $C+C\subseteq C,$ (2) $rC\subseteq C$ для всех $r>0,$ и (3) $C\cap (-C)=\{0\}.$Пересечение любого непустого семейства собственных конусов снова является собственным конусом. Каждый правильный конус $C$ в реальном векторном пространстве наводит порядок в векторном пространстве, определяя $x\leq y$ если и только если $y-x\in C,$ и, кроме того, положительный конус этого упорядоченного векторного пространства будет $C.$ Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между собственными выпуклыми конусами $X$ и векторные частичные порядки на $X.$

Путем полного векторного упорядочения по $X$ мы имеем в виду общий заказ на $X$ которое совместимо со структурой векторного пространства $X.$ Семейство полных векторных порядков в векторном пространстве $X$ находится во взаимно однозначном соответствии с семейством всех собственных конусов, максимальных при включении множества. Полный векторный порядок не может быть архимедовым, если его размерность , рассматриваемая как векторное пространство над действительными числами, больше 1.

Если $R$ и $S$ два порядка векторного пространства с положительными конусами $P$ и $Q,$ соответственно, то мы говорим, что $R$ тоньше , чем $S$ если $P\subseteq Q.$

Примеры

Действительные числа в обычном порядке образуют полностью упорядоченное векторное пространство. Для всех целых чисел $n\geq 0,$ евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ рассматриваемое как векторное пространство над вещественными числами с лексикографическим упорядочением, образует предупорядоченное векторное пространство, порядок которого является архимедовым тогда и только тогда, когда $n=1$.

Поточечный порядок

Если $S$ любое множество, и если $X$ представляет собой векторное пространство (над действительными числами) вещественных функций на $S,$ тогда поточечный порядок на $X$ дается, для всех $f,g\in X,$ $f\leq g$ если и только если $f(s)\leq g(s)$ для всех $s\in S.$

Пространства, которым обычно присваивается этот порядок, включают:

• космос $\ell ^{\infty }(S,\mathbb {R} )$ ограниченных на действительных отображений $S.$
• космос $c_{0}(\mathbb {R} )$ вещественных последовательностей , которые сходятся к $0.$
• космос $C(S,\mathbb {R} )$ непрерывных топологическом вещественных функций в пространстве $S.$
• для любого неотрицательного целого числа $n,$ евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ если рассматривать его как пространство $C(\{1,\dots ,n\},\mathbb {R} )$ где $S=\{1,\dots ,n\}$ задана дискретная топология .

Космос ${\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ всех измеримых почти всюду ограниченных действительных отображений на $\mathbb {R} ,$ где предварительный порядок определен для всех $f,g\in {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ к $f\leq g$ если и только если $f(s)\leq g(s)$ почти везде.

Интервалы и порядок, привязанный к двойному

Интервал порядка в предупорядоченном векторном пространстве задается в форме

$${\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}$$

Из аксиом 1 и 2 выше следует, что $x,y\in [a,b]$ и $0<t<1$ подразумевает $tx+(1-t)y$ принадлежит $[a,b];$таким образом, эти интервалы порядка выпуклы. Подмножество называется порядково ограниченным, если оно содержится в некотором порядковом интервале. В предупорядоченном реальном векторном пространстве, если для $x\geq 0$ тогда интервал вида $[-x,x]$ является сбалансированным . Единицей порядка предупорядоченного векторного пространства является любой элемент. $x$ такой, что набор $[-x,x]$ поглощает ​ .

Набор всех линейных функционалов в предупорядоченном векторном пространстве $X$ который отображает каждый порядковый интервал в ограниченное множество, называется порядковой границей, двойственной к $X$ и обозначается $X^{\operatorname {b} }.$ Если пространство упорядочено, то его двойственное порядковое пространство является векторным подпространством своего двойственного алгебраического пространства .

Подмножество $A$ упорядоченного векторного пространства $X$ называется упорядоченным , если для любого непустого подмножества $B\subseteq A$ такой, что $B$ ограничен ли порядок $A,$ оба $\sup B$ и $\inf B$ существуют и являются элементами $A.$ Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство $X$ ? заказ завершен $X$ является подмножеством полного порядка $X.$

Примеры

Если $(X,\leq )$ представляет собой предварительно упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единицей порядка $u,$ тогда карта $p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}$ является сублинейным функционалом .

Свойства

Если $X$ является предупорядоченным векторным пространством, тогда для всех $x,y\in X,$

• $x\geq 0$ и $y\geq 0$ подразумевать $x+y\geq 0.$
• $x\leq y$ если и только если $-y\leq -x.$
• $x\leq y$ и $r<0$ подразумевать $rx\geq ry.$
• $x\leq y$ если и только если $y=\sup\{x,y\}$ если и только если $x=\inf\{x,y\}$
• $\sup\{x,y\}$ существует тогда и только тогда, когда $\inf\{-x,-y\}$ существует, и в этом случае $\inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.$
• $\sup\{x,y\}$ существует тогда и только тогда, когда $\inf\{x,y\}$ существует, и в этом случае для всех $z\in X,$
  • $\sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},$ и
  • $\inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}$
  • $x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.$
• $X$ является векторной решеткой тогда и только тогда, когда $\sup\{0,x\}$ существует для всех $x\in X.$

Пространства линейных карт

Основная статья: Положительный линейный оператор

Конус $C$ называется порождающим , если $C-C$ равно всему векторному пространству. Если $X$ и $W$ представляют собой два нетривиальных упорядоченных векторных пространства с соответствующими положительными конусами $P$ и $Q,$ затем $P$ генерируется в $X$ тогда и только тогда, когда множество $C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}$ является правильным конусом в $L(X;W),$ которое является пространством всех линейных отображений из $X$ в $W.$ В этом случае порядок, определяемый $C$ называется упорядочением каноническим $L(X;W).$ В более общем смысле, если $M$ — любое векторное подпространство $L(X;W)$ такой, что $C\cap M$ является собственным конусом, порядок которого определяется формулой $C\cap M$ называется упорядочением каноническим $M.$

Положительные функционалы и двойственный порядок

Линейная функция $f$ в предупорядоченном векторном пространстве называется положительным , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. $x\geq 0$ подразумевает $f(x)\geq 0.$
2. если $x\leq y$ затем $f(x)\leq f(y).$

Множество всех положительных линейных форм в векторном пространстве с положительным конусом $C,$ называется двойным конусом и обозначается $C^{*},$ представляет собой конус, поляру равный $-C.$ Предпорядок, индуцированный двойственным конусом в пространстве линейных функционалов на $X$ называется двойной предзаказ .

упорядоченного Двойственный порядок векторного пространства $X$ множество, обозначаемое $X^{+},$ определяется $X^{+}:=C^{*}-C^{*}.$ Хотя $X^{+}\subseteq X^{b},$ существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств не выполняется.

типы упорядоченных

Позволять $X$быть упорядоченным векторным пространством. Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство $X$ является архимедовым упорядочением и что порядок $X$ является архимедовым, если когда угодно $x$ в $X$ таков, что $\{nx:n\in \mathbb {N} \}$ мажорируется (т. е. существует некоторое $y\in X$ такой, что $nx\leq y$ для всех $n\in \mathbb {N}$) затем $x\leq 0.$ Топологическое векторное пространство (ТВП), которое является упорядоченным векторным пространством, обязательно является архимедовым, если его положительный конус замкнут.

Мы говорим, что предупорядоченное векторное пространство $X$ и регулярно упорядочен что его порядок регулярен , если он архимедово упорядочен и $X^{+}$ различает точки в $X.$ Это свойство гарантирует, что существует достаточно много положительных линейных форм, чтобы можно было успешно использовать инструменты двойственности для изучения упорядоченных векторных пространств.

Упорядоченное векторное пространство называется векторной решеткой , если для всех элементов $x$ и $y,$ высший ​ $\sup(x,y)$ и самый низкий $\inf(x,y)$ существовать.

Подпространства, факторы и произведения

На протяжении всего пусть $X$ быть предупорядоченным векторным пространством с положительным конусом $C.$

Подпространства

Если $M$ является векторным подпространством $X$ тогда канонический порядок на $M$ индуцированный $X$положительный конус $C$ — частичный порядок, индуцированный заостренным выпуклым конусом $C\cap M,$ где этот конус собственный, если $C$ правильно.

Факторное пространство

Позволять $M$ быть векторным подпространством упорядоченного векторного пространства $X,$ $\pi :X\to X/M$ — каноническая проекция, и пусть ${\hat {C}}:=\pi (C).$ Затем ${\hat {C}}$ представляет собой конус в $X/M$ что индуцирует канонический предварительный порядок в факторпространстве $X/M.$ Если ${\hat {C}}$ является правильным конусом в $X/M$ затем ${\hat {C}}$ делает $X/M$ в упорядоченное векторное пространство. Если $M$ является $C$-насыщенный тогда ${\hat {C}}$ определяет канонический порядок $X/M.$ Обратите внимание, что $X=\mathbb {R} _{0}^{2}$ представляет собой пример упорядоченного векторного пространства, где $\pi (C)$ не является правильным конусом.

Если $X$ также является топологическим векторным пространством (TVS), и если для каждой окрестности $V$ происхождения в $X$ существует район $U$ происхождения такой, что $[(U+N)\cap C]\subseteq V+N$ затем ${\hat {C}}$ является нормальным конусом для фактортопологии .

Если $X$ представляет собой топологическую векторную решетку и $M$ представляет собой замкнутую сплошную подрешетку $X$ затем $X/L$ также является топологической векторной решеткой.

Продукт

Если $S$ любое множество, то пространство $X^{S}$ всех функций из $S$ в $X$ канонически упорядочен по собственному конусу $\left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.$

Предположим, что $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ является семейством предупорядоченных векторных пространств и что положительный конус $X_{\alpha }$ является $C_{\alpha }.$ Затем ${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ представляет собой заостренный выпуклый конус ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ что определяет канонический порядок на ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$ $C$ является правильным конусом, если все $C_{\alpha }$ являются правильными конусами.

Алгебраическая прямая сумма

Алгебраическая прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ из $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ является векторным подпространством ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ то есть задан канонический порядок подпространства, унаследованный от ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ Если $X_{1},\dots ,X_{n}$ являются упорядоченными векторными подпространствами упорядоченного векторного пространства. $X$ затем $X$ является упорядоченной прямой суммой этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм $X$ на $\prod _{\alpha }X_{\alpha }$ (с каноническим порядком произведения) является изоморфизмом порядка .

Примеры

• Действительные числа обычного порядка представляют собой упорядоченное векторное пространство.
• $\mathbb {R} ^{2}$ представляет собой упорядоченное векторное пространство с $\,\leq \,$ отношение, определяемое любым из следующих способов (в порядке возрастания силы, то есть убывания наборов пар):
  • Лексикографический порядок : $(a,b)\leq (c,d)$ если и только если $a<c$ или $(a=c{\text{ and }}b\leq d).$Это полный порядок . Положительный конус определяется выражением $x>0$ или $(x=0{\text{ and }}y\geq 0),$ то есть в полярных координатах набор точек с угловой координатой, удовлетворяющей $-\pi /2<\theta \leq \pi /2,$ вместе с происхождением.
  • $(a,b)\leq (c,d)$ если и только если $a\leq c$ и $b\leq d$ ( заказ продукта в двух экземплярах $\mathbb {R}$ с $\leq$). Это частичный заказ. Положительный конус определяется выражением $x\geq 0$ и $y\geq 0,$ то есть в полярных координатах $0\leq \theta \leq \pi /2,$ вместе с происхождением.
  • $(a,b)\leq (c,d)$ если и только если $(a<c{\text{ and }}b<d)$ или $(a=c{\text{ and }}b=d)$ ( рефлексивное замыкание прямого произведения двух копий $\mathbb {R}$с помощью «<»). Это тоже частичный заказ. Положительный конус определяется выражением $(x>0{\text{ and }}y>0)$ или $x=y=0),$ то есть в полярных координатах, $0<\theta <\pi /2,$ вместе с происхождением.

Только второй порядок, как подмножество $\mathbb {R} ^{4},$закрыто; см. частичные порядки в топологических пространствах .

Для третьего порядка двумерные « интервалы » $p<x<q$ являются открытыми множествами , генерирующими топологию.

• $\mathbb {R} ^{n}$ представляет собой упорядоченное векторное пространство с $\,\leq \,$отношение определяется аналогично. Например, для второго заказа, упомянутого выше:
  • $x\leq y$ если и только если $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\dots ,n.$
• Пространство Рисса — это упорядоченное векторное пространство, в котором порядок порождает решетку .
• Пространство непрерывных функций на $[0,1]$ где $f\leq g$ если и только если $f(x)\leq g(x)$ для всех $x$ в $[0,1].$

См. также

• Топология порядка (функциональный анализ) - Топология упорядоченного векторного пространства.
• Упорядоченное поле – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченная группа — группа с совместимым частичным порядком. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Заказное кольцо — кольцо с совместимым общим порядком. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
• Заказ продукта
• Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.
• Топологическая векторная решетка
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Библиография

• Алипрантис, Хараламбос Д ; Буркиншоу, Оуэн (2003). Локально твердые пространства Рисса с приложениями к экономике (Второе изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3408-8 .
• Бурбаки, Николя ; Элементы математики: топологические векторные пространства ; ISBN   0-387-13627-4 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .