Упорядоченное векторное пространство

точка $x$ в $\mathbb {R} ^{2}$ и набор всего $y$ такой, что $x\leq y$ (красным цветом). Порядок здесь такой $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $x_{1}\leq y_{1}$ и $x_{2}\leq y_{2}.$

В математике упорядоченное векторное пространство или частично упорядоченное векторное пространство — это векторное пространство, обладающее частичным порядком , совместимым с операциями векторного пространства.

Определение

Учитывая векторное пространство $X$ над реальными цифрами $\mathbb {R}$ и предзаказ $\,\leq \,$ на съемочной площадке $X,$ пара $(X,\leq )$ называется предупорядоченным векторным пространством , и мы говорим, что предупорядоченный векторное пространство $\,\leq \,$ совместим со структурой векторного пространства $X$ и позвони $\,\leq \,$ векторный предзаказ на $X$ если для всех $x,y,z\in X$ и $r\in \mathbb {R}$ с $r\geq 0$ следующие две аксиомы выполняются

1. $x\leq y$ подразумевает $x+z\leq y+z,$
2. $y\leq x$ подразумевает $ry\leq rx.$

Если $\,\leq \,$ является частичным порядком, совместимым со структурой векторного пространства $X$ затем $(X,\leq )$ называется упорядоченным векторным пространством и $\,\leq \,$ называется векторным частичным порядком на $X.$ Из двух аксиом следует, что сдвиги и положительные гомотетии являются автоморфизмами порядковой структуры и отображения $x\mapsto -x$ является изоморфизмом структуры двойственного порядка . Упорядоченные векторные пространства представляют собой упорядоченные группы при операции сложения.Обратите внимание, что $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $-y\leq -x.$

конусы и их

Подмножество ​ $C$ векторного пространства $X$ называется конусом, если для всех действительный $r>0,$ $rC\subseteq C.$ Конус называется заостренным, если он содержит начало координат. Конус $C$ выпукло тогда и только тогда, когда $C+C\subseteq C.$ Пересечение семейства конусов (соответственно выпуклых конусов) снова является любого непустого конусом (соответственно выпуклым конусом); то же самое относится и к объединению возрастающего (при включении множества ) семейства конусов (соответственно выпуклых конусов). Конус $C$ в векторном пространстве $X$ называется порождающим, если $X=C-C.$

Учитывая предупорядоченное векторное пространство $X,$ подмножество $X^{+}$ всех элементов $x$ в $(X,\leq )$ удовлетворяющий $x\geq 0$ представляет собой заостренный выпуклый конус с вершиной $0$ (то есть содержит $0$) называется положительным конусом $X$ и обозначается $\operatorname {PosCone} X.$ Элементы положительного конуса называются положительными . Если $x$ и $y$ являются элементами предупорядоченного векторного пространства $(X,\leq ),$ затем $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $y-x\in X^{+}.$ Положительный конус является порождающим тогда и только тогда, когда $X$ представляет собой направленное множество под $\,\leq .$ Дан любой заостренный выпуклый конус $C$ с вершиной $0,$ можно определить предварительный заказ $\,\leq \,$ на $X$ которое совместимо со структурой векторного пространства $X$ объявив для всех $x,y\in X,$ что $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $y-x\in C;$ положительный конус этого результирующего предупорядоченного векторного пространства равен $C.$ Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между заостренными выпуклыми конусами с вершиной $0$ и векторные предзаказы на $X.$ Если $X$ предупорядочен, то мы можем сформировать отношение эквивалентности на $X$ определяя $x$ эквивалентно $y$ тогда и только тогда, когда $x\leq y$ и $y\leq x;$ если $N$ — класс эквивалентности, содержащий начало координат, тогда $N$ является векторным подпространством $X$ и $X/N$ является упорядоченным векторным пространством относительно соотношения: $A\leq B$ если и только существует $a\in A$ и $b\in B$ такой, что $a\leq b.$

Подмножество $C$ векторного пространства $X$ называется собственным конусом, если он является выпуклым конусом с вершиной $0$ удовлетворяющий $C\cap (-C)=\{0\}.$ Явно, $C$ является собственным конусом, если (1) $C+C\subseteq C,$ (2) $rC\subseteq C$ для всех $r>0,$ и (3) $C\cap (-C)=\{0\}.$ Пересечение любого непустого семейства собственных конусов снова является собственным конусом. Каждый правильный конус $C$ в реальном векторном пространстве наводит порядок в векторном пространстве, определяя $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $y-x\in C,$ и, кроме того, положительный конус этого упорядоченного векторного пространства будет $C.$ Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между собственными выпуклыми конусами $X$ и векторные частичные порядки на $X.$

Путем полного векторного упорядочения по $X$ мы имеем в виду общий заказ на $X$ которое совместимо со структурой векторного пространства $X.$ Семейство полных векторных порядков в векторном пространстве $X$ находится во взаимно однозначном соответствии с семейством всех собственных конусов, максимальных при включении множества. Полный векторный порядок не может быть архимедовым , если его размерность , рассматриваемая как векторное пространство над действительными числами, больше 1.

Если $R$ и $S$ два порядка векторного пространства с положительными конусами $P$ и $Q,$ соответственно, то мы говорим, что $R$ тоньше , чем $S$ если $P\subseteq Q.$

Примеры

Действительные числа в обычном порядке образуют полностью упорядоченное векторное пространство. Для всех целых чисел $n\geq 0,$ евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ рассматриваемое как векторное пространство над вещественными числами с лексикографическим упорядочением, образует предупорядоченное векторное пространство, порядок которого является архимедовым тогда и только тогда, когда $n=1$.

Поточечный порядок

Если $S$ любое множество, и если $X$ представляет собой векторное пространство (над действительными числами) вещественных функций на $S,$ тогда поточечный порядок на $X$ дается, для всех $f,g\in X,$ $f\leq g$ тогда и только тогда, когда $f(s)\leq g(s)$ для всех $s\in S.$

Пространства, которым обычно присваивается этот порядок, включают:

• пространство $\ell ^{\infty }(S,\mathbb {R} )$ ограниченных на действительных отображений $S.$
• пространство $c_{0}(\mathbb {R} )$ вещественных последовательностей , которые сходятся к $0.$
• пространство $C(S,\mathbb {R} )$ непрерывных топологическом вещественных функций в пространстве $S.$
• для любого неотрицательного целого числа $n,$ евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ если рассматривать его как пространство $C(\{1,\dots ,n\},\mathbb {R} )$ где $S=\{1,\dots ,n\}$ задана дискретная топология .

Пространство ${\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ всех измеримых почти всюду ограниченных действительных отображений на $\mathbb {R} ,$ где предварительный порядок определен для всех $f,g\in {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ к $f\leq g$ тогда и только тогда, когда $f(s)\leq g(s)$ почти везде.

Интервалы и порядок, привязанный к двойному

Интервал порядка в предупорядоченном векторном пространстве задается в форме

$${\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}$$

Из аксиом 1 и 2 выше следует, что $x,y\in [a,b]$ и $0<t<1$ подразумевает $tx+(1-t)y$ принадлежит $[a,b];$ таким образом, эти интервалы порядка выпуклы. Подмножество называется порядково ограниченным , если оно содержится в некотором порядковом интервале. В предупорядоченном реальном векторном пространстве, если для $x\geq 0$ тогда интервал вида $[-x,x]$ является сбалансированным . Единицей порядка предупорядоченного векторного пространства является любой элемент. $x$ такой, что набор $[-x,x]$ поглощает ​ .

Набор всех линейных функционалов в предупорядоченном векторном пространстве $X$ который отображает каждый порядковый интервал в ограниченное множество, называется порядковой границей, двойственной к $X$ и обозначается $X^{\operatorname {b} }.$ Если пространство упорядочено, то его двойственное порядковое пространство является векторным подпространством своего алгебраического двойственного пространства .

Подмножество $A$ упорядоченного векторного пространства $X$ называется упорядоченным, если для любого непустого подмножества $B\subseteq A$ такой, что $B$ ограничен ли порядок $A,$ оба $\sup B$ и $\inf B$ существуют и являются элементами $A.$ Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство $X$ завершен заказ ​ $X$ является подмножеством полного порядка $X.$

Примеры

Если $(X,\leq )$ представляет собой предварительно упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единицей порядка $u,$ тогда карта $p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}$ является сублинейным функционалом .

Свойства

Если $X$ является предупорядоченным векторным пространством, тогда для всех $x,y\in X,$

• $x\geq 0$ и $y\geq 0$ подразумевать $x+y\geq 0.$
• $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $-y\leq -x.$
• $x\leq y$ и $r<0$ подразумевать $rx\geq ry.$
• $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $y=\sup\{x,y\}$ тогда и только тогда, когда $x=\inf\{x,y\}$
• $\sup\{x,y\}$ существует тогда и только тогда, когда $\inf\{-x,-y\}$ существует, и в этом случае $\inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.$
• $\sup\{x,y\}$ существует тогда и только тогда, когда $\inf\{x,y\}$ существует, и в этом случае для всех $z\in X,$
  • $\sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},$ и
  • $\inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}$
  • $x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.$
• $X$ является векторной решеткой тогда и только тогда, когда $\sup\{0,x\}$ существует для всех $x\in X.$

Пространства линейных карт

Основная статья: Положительный линейный оператор

Конус $C$ называется порождающим, если $C-C$ равно всему векторному пространству. Если $X$ и $W$ представляют собой два нетривиальных упорядоченных векторных пространства с соответствующими положительными конусами $P$ и $Q,$ затем $P$ генерируется в $X$ тогда и только тогда, когда множество $C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}$ является правильным конусом в $L(X;W),$ которое является пространством всех линейных отображений из $X$ в $W.$ В этом случае порядок, определяемый $C$ называется каноническим упорядочением $L(X;W).$ В более общем смысле, если $M$ — любое векторное подпространство $L(X;W)$ такой, что $C\cap M$ является собственным конусом, порядок которого определяется формулой $C\cap M$ называется каноническим упорядочением $M.$

Положительные функционалы и двойственный порядок

функция Линейная $f$ в предупорядоченном векторном пространстве называется положительным, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. $x\geq 0$ подразумевает $f(x)\geq 0.$
2. если $x\leq y$ затем $f(x)\leq f(y).$

Множество всех положительных линейных форм в векторном пространстве с положительным конусом $C,$ называется двойным конусом и обозначается $C^{*},$ представляет собой конус, поляру равный $-C.$ Предпорядок, индуцированный двойственным конусом в пространстве линейных функционалов на $X$ называется двойной предзаказ .

упорядоченного Двойственный порядок векторного пространства $X$ множество, обозначаемое $X^{+},$ определяется $X^{+}:=C^{*}-C^{*}.$ Хотя $X^{+}\subseteq X^{b},$ существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств не выполняется.

векторных пространств

Позволять $X$ быть упорядоченным векторным пространством. Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство $X$ является архимедовым упорядочением и что порядок $X$ является архимедовым, если когда угодно $x$ в $X$ таков, что $\{nx:n\in \mathbb {N} \}$ мажорируется (т . е. существует некоторое $y\in X$ такой, что $nx\leq y$ для всех $n\in \mathbb {N}$) затем $x\leq 0.$ Топологическое векторное пространство (ТВП), которое является упорядоченным векторным пространством, обязательно является архимедовым, если его положительный конус замкнут.

Мы говорим, что предупорядоченное векторное пространство $X$ и регулярно упорядочен что его порядок регулярен, если он архимедово упорядочен и $X^{+}$ различает точки в $X.$ Это свойство гарантирует, что существует достаточно много положительных линейных форм, чтобы можно было успешно использовать инструменты двойственности для изучения упорядоченных векторных пространств.

Упорядоченное векторное пространство называется векторной решеткой, если для всех элементов $x$ и $y,$ высший ​ $\sup(x,y)$ и самый низкий $\inf(x,y)$ существовать.

Подпространства, факторы и произведения

На протяжении всего пусть $X$ быть предупорядоченным векторным пространством с положительным конусом $C.$

Подпространства

Если $M$ является векторным подпространством $X$ тогда канонический порядок на $M$ вызванный $X$положительный конус $C$ — частичный порядок, индуцированный заостренным выпуклым конусом $C\cap M,$ где этот конус собственный, если $C$ правильно.

Факторное пространство

Позволять $M$ быть векторным подпространством упорядоченного векторного пространства $X,$ $\pi :X\to X/M$ — каноническая проекция, и пусть ${\hat {C}}:=\pi (C).$ Затем ${\hat {C}}$ представляет собой конус в $X/M$ что индуцирует канонический предварительный порядок в факторпространстве $X/M.$ Если ${\hat {C}}$ является правильным конусом в $X/M$ затем ${\hat {C}}$ делает $X/M$ в упорядоченное векторное пространство. Если $M$ является $C$-насыщенный тогда ${\hat {C}}$ определяет канонический порядок $X/M.$ Обратите внимание, что $X=\mathbb {R} _{0}^{2}$ представляет собой пример упорядоченного векторного пространства, где $\pi (C)$ не является правильным конусом.

Если $X$ также является топологическим векторным пространством (TVS), и если для каждой окрестности $V$ происхождения в $X$ существует район $U$ происхождения такой, что $[(U+N)\cap C]\subseteq V+N$ затем ${\hat {C}}$ является нормальным конусом для фактортопологии .

Если $X$ представляет собой топологическую векторную решетку и $M$ представляет собой замкнутую сплошную подрешетку $X$ затем $X/L$ также является топологической векторной решеткой.

Продукт

Если $S$ любое множество, то пространство $X^{S}$ всех функций из $S$ в $X$ канонически упорядочен по собственному конусу $\left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.$

Предположим, что $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ является семейством предупорядоченных векторных пространств и что положительный конус $X_{\alpha }$ является $C_{\alpha }.$ Затем ${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ представляет собой заостренный выпуклый конус ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ что определяет канонический порядок на ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$$C$ является правильным конусом, если все $C_{\alpha }$ являются правильными конусами.

Алгебраическая прямая сумма

Алгебраическая прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ из $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ является векторным подпространством ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ то есть задан канонический порядок подпространства, унаследованный от ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$Если $X_{1},\dots ,X_{n}$ являются упорядоченными векторными подпространствами упорядоченного векторного пространства. $X$ затем $X$ является упорядоченной прямой суммой этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм $X$ на $\prod _{\alpha }X_{\alpha }$ (с каноническим порядком произведения) является изоморфизмом порядка .

Примеры

• Действительные числа обычного порядка представляют собой упорядоченное векторное пространство.
• $\mathbb {R} ^{2}$ представляет собой упорядоченное векторное пространство с $\,\leq \,$ отношение, определяемое любым из следующих способов (в порядке возрастания силы, то есть убывания наборов пар):
  • Лексикографический порядок : $(a,b)\leq (c,d)$ тогда и только тогда, когда $a<c$ или $(a=c{\text{ and }}b\leq d).$ Это полный порядок . Положительный конус определяется выражением $x>0$ или $(x=0{\text{ and }}y\geq 0),$ то есть в полярных координатах набор точек с угловой координатой, удовлетворяющей $-\pi /2<\theta \leq \pi /2,$ вместе с происхождением.
  • $(a,b)\leq (c,d)$ тогда и только тогда, когда $a\leq c$ и $b\leq d$ ( заказ продукта в двух экземплярах $\mathbb {R}$ с $\leq$). Это частичный заказ. Положительный конус определяется выражением $x\geq 0$ и $y\geq 0,$ то есть в полярных координатах $0\leq \theta \leq \pi /2,$ вместе с происхождением.
  • $(a,b)\leq (c,d)$ тогда и только тогда, когда $(a<c{\text{ and }}b<d)$ или $(a=c{\text{ and }}b=d)$ ( рефлексивное замыкание прямого произведения двух копий $\mathbb {R}$ с помощью «<»). Это тоже частичный заказ. Положительный конус определяется выражением $(x>0{\text{ and }}y>0)$ или $x=y=0),$ то есть в полярных координатах, $0<\theta <\pi /2,$ вместе с происхождением.

Только второй порядок, как подмножество $\mathbb {R} ^{4},$ закрыто; см. частичные порядки в топологических пространствах .

Для третьего порядка двумерные « интервалы » $p<x<q$ являются открытыми множествами , генерирующими топологию.

• $\mathbb {R} ^{n}$ представляет собой упорядоченное векторное пространство с $\,\leq \,$ отношение определяется аналогично. Например, для второго заказа, упомянутого выше:
  • $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\dots ,n.$
• — Пространство Рисса это упорядоченное векторное пространство, в котором порядок порождает решетку .
• Пространство непрерывных функций на $[0,1]$ где $f\leq g$ тогда и только тогда, когда $f(x)\leq g(x)$ для всех $x$ в $[0,1].$

См. также

• Топология порядка (функциональный анализ) - Топология упорядоченного векторного пространства.
• Упорядоченное поле – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченная группа — группа с совместимым частичным порядком. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Заказное кольцо — кольцо с совместимым общим порядком. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
• Заказ продукта
• Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.
• Топологическая векторная решетка
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Библиография

• Алипрантис, Хараламбос Д ; Буркиншоу, Оуэн (2003). Локально твердые пространства Рисса с приложениями к экономике (Второе изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3408-8 .
• Бурбаки, Николя ; Элементы математики: топологические векторные пространства ; ISBN   0-387-13627-4 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .