Архимедово упорядоченное векторное пространство

В математике, особенно в теории порядка , бинарное отношение $\,\leq \,$ в векторном пространстве $X$ над действительными или комплексными числами называется архимедовым, если для всех $x\in X,$ всякий раз, когда существует какой-то $y\in X$ такой, что $nx\leq y$ для всех положительных целых чисел $n,$ тогда обязательно $x\leq 0.$ Архимедово (предварительно)упорядоченное векторное пространство — это (предварительно) упорядоченное векторное пространство , порядок которого является архимедовым. Предварительно упорядоченное векторное пространство $X$ называется почти архимедовым, если для всех $x\in X,$ всякий раз, когда существует $y\in X$ такой, что $-n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y$ для всех положительных целых чисел $n,$ затем $x=0.$

Характеристики

Предварительно упорядоченное векторное пространство $(X,\leq )$ с единицей заказа $u$ является архимедовым предупорядоченным тогда и только тогда, когда $nx\leq u$ для всех неотрицательных целых чисел $n$ подразумевает $x\leq 0.$

Характеристики

Позволять $X$ быть упорядоченным векторным пространством над вещественными числами, которое является конечномерным. Тогда порядок $X$ является архимедовым тогда и только тогда, когда положительный конус $X$ замкнуто для единственной топологии, при которой $X$ это хаусдорфовский ТВС.

Единица заказа норма

Предполагать $(X,\leq )$ представляет собой упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единицей порядка $u$ порядок которого является архимедовым, и пусть $U=[-u,u].$ Тогда функционал Минковского $p_{U}$ из $U$ (определено $p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}$) является нормой, называемой нормой единицы порядка . Это удовлетворяет $p_{U}(u)=1$ и замкнутый единичный шар, определяемый формулой $p_{U}$ равно $[-u,u]$ (то есть, $[-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.$

Примеры

Пространство $l_{\infty }(S,\mathbb {R} )$ ограниченных действительных отображений на множестве $S$ с поточечным порядком является архимедовым упорядочением с единицей порядка $u:=1$ (т. е. функция, которая тождественно $1$ на $S$). Норма единицы заказа на $l_{\infty }(S,\mathbb {R} )$ идентичен обычной норме суп: $\|f\|:=\sup _{}|f(S)|.$

Примеры

любого порядка Полная векторная решетка является архимедово упорядоченной. Конечномерная векторная решетка размерности $n$ является архимедово упорядоченным тогда и только тогда, когда он изоморфен $\mathbb {R} ^{n}$ с его каноническим порядком. Однако полностью упорядоченный векторный порядок размерности $\,>1$ не может быть упорядочен по Архимеду. Существуют упорядоченные векторные пространства, почти архимедовы, но не архимедовы.

Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{2}$ над реальными числами с лексикографическим порядком является не архимедовым, поскольку $r(0,1)\leq (1,1)$ для каждого $r>0$ но $(0,1)\neq (0,0).$

См. также

• Архимедово свойство - Математическое свойство алгебраических структур.
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .