Решетка непересекающаяся

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , два элемента x и y векторной решетки X являются непересекающимися или просто непересекающимися , если $\inf \left\{|x|,|y|\right\}=0$, в этом случае пишем $x\perp y$, где абсолютное значение x как определяется $|x|:=\sup \left\{x,-x\right\}$. Мы говорим, что два множества A и B являются решеточно непересекающимися или непересекающимися, если a и b не пересекаются для всех a в A и всех b в B , и в этом случае мы пишем $A\perp B$. Если A — одноэлементный набор $\{a\}$ тогда мы напишем $a\perp B$ вместо $\{a\}\perp B$. Для любого множества A мы определяем непересекающееся дополнение как множество $A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}$.

Характеристики

Два элемента x и y не пересекаются тогда и только тогда, когда $\sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|$. Если x и y не пересекаются, то $|x+y|=|x|+|y|$ и $\left(x+y\right)^{+}=x^{+}+y^{+}$, где для любого элемента z , $z^{+}:=\sup \left\{z,0\right\}$ и $z^{-}:=\sup \left\{-z,0\right\}$.

Характеристики

Непересекающиеся дополнения всегда представляют собой полосы , но обратное, как правило, неверно. Если A является подмножеством X таким, что $x=\sup A$ существует, и если B — решетка подмножества в X , не пересекающаяся с A , то B — решетка, не пересекающаяся с $\{x\}$.

Представление в виде непересекающейся суммы положительных элементов.

Для любого x в X пусть $x^{+}:=\sup \left\{x,0\right\}$ и $x^{-}:=\sup \left\{-x,0\right\}$, где обратите внимание, что оба эти элемента $\geq 0$ и $x=x^{+}-x^{-}$ с $|x|=x^{+}+x^{-}$. Затем $x^{+}$ и $x^{-}$ непересекающиеся, и $x=x^{+}-x^{-}$ — это уникальное представление x как разности непересекающихся элементов, которые $\geq 0$. Для всех x и y в X , $\left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|$ и $x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}$. Если y ≥ 0 и x ≤ y, то x ⁺ ≤ и . Более того, $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $x^{+}\leq y^{+}$ и $x^{-}\leq x^{-1}$.

См. также

• Твердый набор
• Локально выпуклая векторная решетка
• Векторная решетка

Источники

• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .