Положительный линейный оператор

В математике , точнее в функциональном анализе , положительный линейный оператор из предупорядоченного векторного пространства. $(X,\leq )$ в заранее упорядоченное векторное пространство $(Y,\leq )$ является линейным оператором $f$ на $X$ в $Y$ такая, что для всех положительных элементов $x$ из $X,$ то есть $x\geq 0,$ он утверждает, что $f(x)\geq 0.$ Другими словами, положительный линейный оператор отображает положительный конус области определения в положительный конус кодомена .

Каждый положительный линейный функционал является разновидностью положительного линейного оператора. Значение положительных линейных операторов заключается в таких результатах, как теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани .

Определение

функция Линейная $f$ в предупорядоченном векторном пространстве называется положительным, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

$x\geq 0$ подразумевает $f(x)\geq 0.$
если $x\leq y$ затем $f(x)\leq f(y).$ ^[1]

Множество всех положительных линейных форм в векторном пространстве с положительным конусом $C,$ называется двойным конусом и обозначается $C^{*},$ представляет собой конус, поляру равный $-C.$ Предпорядок, индуцированный двойственным конусом в пространстве линейных функционалов на $X$ называется двойной предзаказ . ^[1]

упорядоченного Двойственный порядок векторного пространства $X$ множество, обозначаемое $X^{+},$ определяется $X^{+}:=C^{*}-C^{*}.$

Канонический порядок

Позволять $(X,\leq )$ и $(Y,\leq )$ — предупорядоченные векторные пространства и пусть ${\mathcal {L}}(X;Y)$ — пространство всех линейных отображений из $X$ в $Y.$ Набор $H$ всех положительных линейных операторов в ${\mathcal {L}}(X;Y)$ представляет собой конус в ${\mathcal {L}}(X;Y)$ который определяет предварительный заказ на ${\mathcal {L}}(X;Y)$ . Если $M$ является векторным подпространством ${\mathcal {L}}(X;Y)$ и если $H\cap M$ является собственным конусом, то этот собственный конус определяет канонический частичный порядок на $M$ изготовление $M$ в частично упорядоченное векторное пространство. ^[2]

Если $(X,\leq )$ и $(Y,\leq )$ являются упорядоченными топологическими векторными пространствами , и если ${\mathcal {G}}$ представляет собой семейство ограниченных подмножеств $X$ чей союз охватывает $X$ тогда положительный конус ${\mathcal {H}}$ в $L(X;Y)$ , которое является пространством всех непрерывных линейных отображений из $X$ в $Y,$ закрыт в $L(X;Y)$ когда $L(X;Y)$ наделен ${\mathcal {G}}$ -топология . ^[2] Для ${\mathcal {H}}$ быть правильным конусом в $L(X;Y)$ достаточно, чтобы положительный конус $X$ быть тотальным в $X$ (т. е. размах положительного конуса $X$ быть плотным в $X$ ). Если $Y$ является локально выпуклым пространством размерности больше 0, то это условие также необходимо. ^[2] Таким образом, если положительный конус $X$ Всего в $X$ и если $Y$ — локально выпуклое пространство, то каноническое упорядочение $L(X;Y)$ определяется ${\mathcal {H}}$ это обычный заказ. ^[2]

Характеристики

Предложение : Предположим, что $X$ и $Y$ — упорядоченные локально выпуклые топологические векторные пространства с $X$ являющееся пространством Макки , в котором каждый положительный линейный функционал непрерывен. Если положительный конус $Y$ представляет собой слабо нормальный конус в $Y$ то каждый положительный линейный оператор из $X$ в $Y$ является непрерывным. ^[2]

Предложение : предположим $X$ представляет собой бочкообразное упорядоченное топологическое векторное пространство (TVS) с положительным конусом. $C$ это удовлетворяет $X=C-C$ и $Y$ представляет собой полурефлексивную упорядоченную ТВС с положительным конусом $D$ это обычный конус . Давать $L(X;Y)$ его канонический порядок и пусть ${\mathcal {U}}$ быть подмножеством $L(X;Y)$ направлен вверх и либо мажорирован (т. е. ограничен сверху некоторым элементом $L(X;Y)$ ) или просто ограничено. Затем $u=\sup {\mathcal {U}}$ существует и фильтр раздела ${\mathcal {F}}({\mathcal {U}})$ сходится к $u$ равномерно на каждом предкомпактном подмножестве $X.$ ^[2]

См. также

Конус-насыщенный
Положительный линейный функционал – упорядоченное векторное пространство с частичным порядком.
Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 139–153.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Шефер и Вольф 1999 , стр. 225–229.

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011139–153-1] Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 139–153.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999225–229-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Шефер и Вольф 1999 , стр. 225–229.

[1]

[2]

v т и Упорядоченные топологические векторные пространства
Basic concepts	Ordered vector space Partially ordered space Riesz space Order topology Order unit Positive linear operator Topological vector lattice Vector lattice
Types of orders/spaces	AL-space AM-space Archimedean Banach lattice Fréchet lattice Locally convex vector lattice Normed lattice Order bound dual Order dual Order complete Regularly ordered
Types of elements/subsets	Band Cone-saturated Lattice disjoint Dual/Polar cone Normal cone Order complete Order summable Order unit Quasi-interior point Solid set Weak order unit
Topologies/Convergence	Order convergence Order topology
Operators	Positive State
Main results	Freudenthal spectral