Заказ двойной (функциональный анализ)

Чтобы узнать о других значениях, см. Двойной порядок (значения) .

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , двойственный порядок упорядоченного векторного пространства. $X$ это набор $\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)-\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)$ где $\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)$ обозначает множество всех положительных линейных функционалов на $X$, где линейная функция $f$ на $X$ называется положительным, если для всех $x\in X,$ $x\geq 0$ подразумевает $f(x)\geq 0.$Порядок, двойной $X$ обозначается $X^{+}$. Наряду с родственным понятием двойственного порядка, связанного с порядком , это пространство играет важную роль в теории упорядоченных топологических векторных пространств .

Канонический порядок

Элемент $f$ порядка, двойственного $X$ называется положительным, если $x\geq 0$ подразумевает $\operatorname {Re} f(x)\geq 0.$ Положительные элементы двойственного порядка образуют конус, который индуцирует упорядочение на $X^{+}$ называется каноническим упорядочением .Если $X$ — упорядоченное векторное пространство , положительный конус которого $C$ генерирует (т. $X=C-C$) то порядок, двойственный каноническому порядку, является упорядоченным векторным пространством. Двойственный порядок — это совокупность множества положительных линейных функционалов на $X$.

Характеристики

Дуальный порядок содержится в связанном двойственном порядке . Если положительный конус упорядоченного векторного пространства $X$ генерируется, и если $[0,x]+[0,y]=[0,x+y]$ верен для всего положительного $x$ и $y$, то двойственный порядок равен двойственному порядку, который представляет собой векторную решетку полного порядка при ее каноническом упорядочении.

Двойственный порядок векторной решетки является векторной решеткой полного порядка. Двойственный порядок векторной решетки $X$ может быть конечной размерности (возможно, даже $\{0\}$) даже если $X$ является бесконечномерным.

Заказать бидуал

Предположим, что $X$ — упорядоченное векторное пространство такое, что канонический порядок на $X^{+}$ делает $X^{+}$ в упорядоченное векторное пространство. Тогда порядок бидуальный определяется как порядок, двойственный к $X^{+}$ и обозначается $X^{++}$. Если положительный конус упорядоченного векторного пространства $X$ генерируется, и если $[0,x]+[0,y]=[0,x+y]$ верен для всего положительного $x$ и $y$, затем $X^{++}$ представляет собой векторную решетку полного порядка и оценочную карту $X\to X^{++}$ сохраняет порядок. В частности, если $X$ является векторной решеткой, тогда $X^{++}$ представляет собой порядково полную векторную решетку.

Минимальная векторная решетка

Если $X$ является векторной решеткой , и если $G$ представляет собой твердое подпространство $X^{+}$ который разделяет точки в $X$, то оценочная карта $X\to G^{+}$ определяется отправкой $x\in X$ на карту $E_{x}:G^{+}\to \mathbb {C}$ данный $E_{x}(f):=f(x)$, является решеточным изоморфизмом $X$ векторную подрешетку на $G^{+}$. Однако изображение этой карты в целом не является порядковым, даже если $X$ заказ завершен. Действительно, правильно упорядоченная векторная решетка полного порядка не обязательно должна отображаться с помощью карты оценки на полосу бидуального порядка. Порядково полная, правильно упорядоченная векторная решетка, канонический образ которой в ее бидуальном порядке является порядково полной, называется минимальной и называется минимальной .

Примеры

Для любого $1<p<\infty$, банахова решетка $L^{p}(\mu )$ является ли заказ полным и имеет минимальный тип; в частности, нормальная топология в этом пространстве — это тончайшая локально выпуклая топология, для которой сходится любой сходящийся по порядку фильтр.

Характеристики

Позволять $X$ — порядково полная векторная решетка минимального типа. Для любого $x\in X$ такой, что $x>0,$ следующие эквивалентны:

1. $x$ является единицей слабого порядка .
2. Для каждого ненулевого положительного линейного функционала $f$ на $X$, $f(x)>0.$
3. Для каждой топологии $\tau$ на $X$ такой, что $(X,\tau )$ — локально выпуклая векторная решетка , $x$ является квазивнутренней точкой его положительного конуса.

Связанные понятия

Упорядоченное векторное пространство $X$ называется регулярно упорядоченным , а его порядок называется регулярным, если он архимедово упорядочен и $X^{+}$ различает точки в $X$.

См. также

• Алгебраическое двойственное пространство - в математике векторное пространство линейных форм. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Непрерывное двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм.
• Двойной порядок, связанный с порядком - математическая концепция

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .