Асимметричное отношение

Не путать с антисимметричным отношением .

показывать Транзитивные   бинарные отношения
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is always true the row's term (at the very left), while ✗ indicates that the property is not guaranteed in general (it might, or might not, hold). For example, that every equivalence relation is symmetric, but not necessarily antisymmetric, is indicated by Y in the "Symmetric" column and ✗ in the "Antisymmetric" column, respectively. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc.$ A term's definition may require additional properties that are not listed in this table.

В математике асимметричное отношение — это бинарное отношение. $R$ на съемочной площадке $X$ где для всех $a,b\in X,$ если $a$ связано с $b$ затем $b$ имеет не отношения к $a.$

Формальное определение

Предварительные сведения

Бинарное отношение на $X$ это любое подмножество $R$ из $X\times X.$ Данный $a,b\in X,$ писать $aRb$ тогда и только тогда, когда $(a,b)\in R,$ это означает, что $aRb$ это сокращение от $(a,b)\in R.$ Выражение $aRb$ читается как " $a$ связано с $b$ к $R.$"

Определение

Бинарное отношение $R$ называется асимметричным, если для всех $a,b\in X,$ если $aRb$ тогда это правда $bRa$ является ложным; то есть, если $(a,b)\in R$ затем $(b,a)\not \in R.$ Это можно записать в обозначениях логики первого порядка как

$$\forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa).$$

определение Логически эквивалентное :

для всех $a,b\in X,$ хотя бы один из $aRb$ и $bRa$ является ложным ,

что в логике первого порядка можно записать как:

$$\forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa).$$

Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно . так что это также можно принять за определение.

Примеры

Примером асимметричного отношения является отношение « меньше чем ». $\,<\,$ между действительными числами : если $x<y$ тогда обязательно $y$ не меньше, чем $x.$ В более общем смысле любой строгий частичный порядок является асимметричным отношением. Не все асимметричные отношения являются строгими частичными порядками. Примером асимметричного нетранзитивного и даже антитранзитивного отношения является отношение камень-ножницы-бумага : если $X$ бьет $Y,$ затем $Y$ не бьет $X;$ и если $X$ бьет $Y$ и $Y$ бьет $Z,$ затем $X$ не бьет $Z.$

Ограничения и обращения асимметричных отношений также асимметричны. Например, ограничение $\,<\,$ от действительных чисел к целым все еще асимметрично, и обратное или двойственное $\,>\,$ из $\,<\,$ также асимметричен.

Асимметричное отношение не обязательно должно иметь свойство connex . Например, строгое отношение подмножества $\,\subsetneq \,$ асимметрично, и ни одно из множеств $\{1,2\}$ и $\{3,4\}$ является строгим подмножеством другого. Отношение является связным тогда и только тогда, когда его дополнение асимметрично.

Непримером является отношение «меньше или равно». $\leq$. Это не асимметрично, потому что, например, при реверсе $x\leq x$ производит $x\leq x$ и то и другое верно. Отношение «меньше или равно» является примером отношения, которое не является ни симметричным, ни асимметричным, показывая, что асимметрия — это не то же самое, что «несимметричное » .

Пустое отношение — единственное отношение, которое ( пусто ) одновременно симметрично и асимметрично.

Свойства

Следующие условия являются достаточными для отношения $R$ быть асимметричным:

• $R$ иррефлексивен и антисимметричен (это тоже необходимо)
• $R$ является иррефлексивным и транзитивным. Транзитивное отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно иррефлексивно: если $aRb$ и $bRa,$ транзитивность дает $aRa,$ противоречащая иррефлексивности. Такое отношение представляет собой строгий частичный порядок .
• $R$ иррефлексивен и удовлетворяет свойству полупорядка 1 (не существует двух взаимно несравнимых двухточечных линейных порядков)
• $R$ является антитранзитивным и антисимметричным
• $R$ является антитранзитивным и транзитивным
• $R$ является антитранзитивным и удовлетворяет свойству полупорядка 1

См. также

• Аксиоматизация реальности Тарским – отчасти это требование, $\,<\,$ над действительными числами быть асимметричными.