Неравенство (математика)

Эта статья посвящена отношениям «больше» и «меньше». Об отношении «не равно» см. « Неравенство » .

Сюда перенаправляются «Меньше чем» и «Больше чем». Для обозначения символа < см. знак «меньше» . Чтобы узнать о символе >, см. знак «больше» . Чтобы узнать о песне, см. «Меньше чем (песня)» .

«≪» перенаправляется сюда. Не путать с Абсолютной непрерывностью мер .

Допустимые области линейного программирования определяются набором неравенств.

В математике неравенство — это отношение , которое осуществляет неравное сравнение между двумя числами или другими математическими выражениями. Чаще всего он используется для сравнения двух чисел на числовой прямой по их размеру. Основными видами неравенства являются меньше и больше .

Обозначения

Для обозначения различных видов неравенств используются несколько различных обозначений:

• Обозначение a < b означает, a меньше что b .
• Обозначение a > b означает, что a больше , чем b .

В любом случае a не равно b . Эти отношения известны как строгие неравенства . это означает, что a строго меньше или строго больше b . Равенство исключено.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

• Обозначение a ≤ b или a ⩽ b или a ⩽ b означает, что a меньше или равно b (или, что то же самое, не более b или не больше b ).
• Обозначение a ≥ b или a ⩾ b или a ⩾ b означает, что a больше или равно b (или, что то же самое, по крайней мере b или не меньше b ).

В 17 и 18 веках для обозначения неравенства использовались личные записи или машинописные знаки. Например, в 1670 году Джон Уоллис использовал одну горизонтальную полосу выше , а не ниже < и >. Позже, в 1734 году, ≦ и ≧, известные как «меньше (больше) больше равно» или «меньше (больше) или равно с двойными горизонтальными чертами», впервые появились в Пьера Бугера . работе После этого математики упростили символ Пьера до «меньше (больше) или равно одной горизонтальной черте» (≤), или «меньше (больше) или наклонно равно» (⩽).

Отношение не больше чем также может быть представлено выражением $a\ngtr b,$символ «больше», разделенный косой чертой «нет». То же самое верно для не менее , $a\nless b.$

Обозначение a ≠ b означает, что a не равно b ; это неравенство иногда считается формой строгого неравенства. Здесь не говорится, что одно больше другого; для этого даже не требуется, чтобы a и b были членами упорядоченного набора .

В технических науках менее формальное использование обозначений заключается в утверждении, что одна величина «намного больше» другой. обычно на несколько порядков .

• Обозначение a ≪ b означает, что a меньше намного b .
• Обозначение a ≫ b означает, что a намного больше b .

Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближения ( например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, зеркально отражающие друг друга, симметричны; a < b и b > a эквивалентны и т. д.

Свойства на числовой прямой

Неравенства регулируются следующими свойствами . Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими строгими неравенствами (< и >) и — в случае применения функции — монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .

Конверс

Отношения ≤ и ≥ являются обратными друг другу , что означает, что для любых действительных чисел a и b :

a ⩽ b и b ⩾ a эквивалентны.

Транзитивность

Транзитивное свойство неравенства гласит, что для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c .

Если любая из посылок представляет собой строгое неравенство, то вывод представляет собой строгое неравенство:

Если a ≤ b и b < c , то a < c .

Если a < b и b ≤ c , то a < c .

Сложение и вычитание

Если x < y , то x + a < y + a .

Общая константа c может быть добавлена ​​или вычтена из обеих частей неравенства. Итак, для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ⩽ b , то a + c ⩽ b + c и a - c ⩽ b - c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.

Умножение и деление

Если x < y и a > 0, то ax < ay .

Если x < y и a < 0, то ax > ay .

Свойства, касающиеся умножения и деления, утверждают, что для любых действительных чисел a , b и ненулевых c :

Если a ≤ b и c > 0, то ac ≤ bc и a / c ≤ b / c .

Если a ≤ b и c < 0, то ac ≥ bc и a / c ≥ b / c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда используется отрицательная константа. В более общем смысле это относится к упорядоченному полю . Дополнительную информацию см. в § Упорядоченные поля .

Аддитивное обратное

Свойство аддитивной инверсии гласит, что для любых действительных чисел a и b :

Если a ≤ b , то − a ≥ − b .

Мультипликативное обратное

Если оба числа положительны, то отношение неравенства между мультипликативными обратными числами противоположно отношению неравенства между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными (или оба отрицательными ):

Если a ≤ b , то 1 / а ≥ 1 / б .

Все случаи знаков a и b также можно записать в цепной записи следующим образом:

Если 0 < a ≤ b , то 1 / а ≥ 1 / б > 0.

Если a ≤ b < 0, то 0 > 1 / а ≥ 1 / б .

Если a < 0 < b , то 1 / а <0 < 1 / б .

Применение функции к обеим сторонам

График y = ln x

Любая монотонно возрастающая функция по определению может применяться к обеим частям неравенства без нарушения отношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства означает, что соотношение неравенства изменится на противоположное. Правила аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если только одно из этих условий является строгим, то полученное неравенство является нестрогим. Фактически, правила аддитивного и мультипликативного обратного преобразования являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.

Вот несколько примеров этого правила:

• Возведение обеих частей неравенства в степень n > 0 (эквивалентно - n < 0), когда a и b - положительные действительные числа:
  0 ≤ а ≤ б ⇔ 0 ≤ а ^н ≤ б ^н .
  0 ≤ а ≤ б ⇔ а ^{− п} ≥ б ^{− п} ≥ 0.
• Берем натуральный логарифм с обеих сторон неравенства, когда a и b — положительные действительные числа:
  0 < а ≤ б ⇔ ln( а ) ≤ ln( б ).
  0 < а < б ⇔ ln( а ) < ln( б ).
  (это верно, поскольку натуральный логарифм является строго возрастающей функцией.)

Формальные определения и обобщения

(Нестрогий) частичный порядок — это бинарное отношение ≤ над множеством P , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . То есть для всех a , b и c в P оно должно удовлетворять трем следующим условиям:

1. a ≤ a ( рефлексивность )
2. если a ≤ b и b ≤ a , то a = b ( антисимметрия )
3. если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c ( транзитивность )

Множество с частичным порядком называется частично упорядоченным множеством . Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве P , включают:

1. Для каждых a и b в P ≤ a ≤ b или b a общий ( порядок ).
2. Для всех a и b в P , для которых a < b , существует c в P такой, что a < c < b ( плотный порядок ).
3. Каждое непустое подмножество P свойство наименьшей с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (супремум) в P ( верхней границы ).

Упорядоченные поля

Основная статья: Упорядоченное поле

Если ( F , +, ×) — поле и ≤ — полный порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:

• a ≤ b подразумевает a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a и 0 ≤ b влечет за собой 0 ≤ a × b .

Оба ( Q , +, ×, ≤) и ( R , +, ×, ≤) являются упорядоченными полями , но ≤ нельзя определить, чтобы сделать ( C , +, ×, ≤) упорядоченным полем , потому что −1 — это квадрат i и поэтому будет положительным.

Помимо того, что R является упорядоченным полем, он также обладает свойством «наименьшая верхняя граница» . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле такого качества.

Цепное обозначение

Обозначение a < b < c означает « a < b и b < c », из чего по свойству транзитивности, указанному выше, также следует, что a < c . Согласно вышеуказанным законам, можно прибавить или вычесть одно и то же число ко всем трем слагаемым, а также умножить или разделить все три слагаемых на одно и то же ненулевое число и перевернуть все неравенства, если это число отрицательное. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a - e < b < c - e .

Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, a ₁ ⩽ a ₂ ⩽ ... ⩽ a _n означает, что a _i ⩽ a _{i +1} для i = 1, 2, ..., n − 1. По транзитивности это условие эквивалентно a _i ≤ a _j для любого 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

При решении неравенств с использованием цепной записи можно, а иногда и необходимо, оценивать члены самостоятельно. Например, чтобы решить неравенство 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно выделить x в какой-либо одной части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства необходимо решать независимо, в результате чего x < 1/2 −1 соответственно , и ≥ x которые можно объединить в окончательное решение −1 ≤ x < 1 / 2 .

Иногда цепные обозначения используются с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае смыслом является логическое соединение неравенств между соседними терминами. Например, определяющее условие зигзагообразного ЧУУ записывается как a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, например <, =, ≤. Например, a < b = c ≤ d означает, что a < b , b = c и c ≤ d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования, таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение.

Резкие неравенства

Неравенство называется резким, если его нельзя ослабить и при этом в целом сохранить справедливость. Формально универсальное кванторное неравенство φ называется точным, если для любого действительного универсального кванторного неравенства ψ , если ψ ⇒ φ выполняется ψ ⇔ φ , то также выполняется . Например, неравенство ∀ a ∈ R . а ² ≥ 0 является точным, тогда как неравенство ∀ a ∈ R . а ² ≥ −1 не является точным.

Неравенство между средствами

Смотрите также: Неравенство средних арифметических и геометрических.

Между средствами существует множество неравенств. Например, для любых положительных чисел a ₁ , a ₂ , ..., a _n мы имеем H ≤ G ≤ A ≤ Q , где они представляют собой следующие средние значения последовательности:

• Гармоническое среднее : $H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$
• Среднее геометрическое : $G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$
• Среднее арифметическое : $A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$
• Квадратичное среднее : $Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$

Коши

См. Также: неравенство Коши – Шварца.

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов u и v пространства внутреннего произведения верно, что

$$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$это внутренний продукт . Примеры внутренних продуктов включают реальное и сложное скалярное произведение ; В евклидовом пространстве R ^н со стандартным внутренним продуктом неравенство Коши – Шварца имеет вид

$$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$$

Силовое

Степенное неравенство — это неравенство, содержащее члены вида a ^б , где a и b — действительные положительные числа или выражения переменных. Они часто появляются в упражнениях математических олимпиад .

Примеры:

• Для любого действительного x ,
  $$e^{x}\geq 1+x.$$
• Если х > 0 и р > 0, то
  $${\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.$$
  В пределе p → 0 верхняя и нижняя границы сходятся к ln( x ).
• Если х > 0, то
  $$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.$$
• Если х > 0, то
  $$x^{x^{x}}\geq x.$$
• Если x , y , z > 0, то
  $$\left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.$$
• Для любых действительных различных чисел a и b ,
  $${\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.$$
• Если x , y > 0 и 0 < p < 1, то
  $$x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.$$
• Если x , y , z > 0, то
  $$x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.$$
• Если а , b > 0, то
  $$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.$$
• Если а , b > 0, то
  $$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.$$
• Если a , b , c > 0, то
  $$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.$$
• Если а , b > 0, то
  $$a^{b}+b^{a}>1.$$

Известные неравенства

См. Также: Список неравенств .

Математики часто используют неравенства для определения величин, для которых невозможно легко вычислить точные формулы. Некоторые неравенства используются настолько часто, что имеют названия:

• Неравенство Азумы
• Неравенство Бернулли
• Неравенство Белла
• Неравенство Буля
• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Чебышева
• Неравенство Чернова
• Неравенство Крамера-Рао
• Неравенство Хефдинга
• Неравенство Гёльдера
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Колмогорова
• Неравенство Маркова
• Неравенство Минковского
• Неравенство Несбитта
• Неравенство Педо
• Неравенство Пуанкаре
• Неравенство Самуэльсона
• Sobolev inequality
• Неравенство треугольника

Комплексные числа и неравенства

Набор комплексных чисел $\mathbb {C}$ с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение ≤ так, чтобы $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$становится упорядоченным полем . Делать $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ упорядоченное поле , оно должно удовлетворять следующим двум свойствам:

• если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Поскольку ≤ является полным порядком , для любого числа a либо 0 ≤ a , либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ − a ). В любом случае 0 ≤ a ² ; это значит, что я ² > 0 и 1 ² > 0 ; поэтому −1 > 0 и 1 > 0 , что означает (−1 + 1) > 0; противоречие.

Однако операцию ≤ можно определить так, чтобы она удовлетворяла только первому свойству (а именно: «если a ≤ b , то a + c ≤ b + c »). Иногда лексикографического порядка используется определение :

• a ≤ b , если
  • Re( a ) <Re( b ) или
  • Re( a ) = Re( b ) и Im( a ) ≤ Im( b )

Легко доказать, что для этого определения из a ⩽ b следует a + c ⩽ b + c .

Векторные

Отношения неравенства, аналогичные определенным выше, также могут быть определены для векторов-столбцов . Если мы позволим векторам $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ (означающий, что $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ и $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}$, где $x_{i}$ и $y_{i}$ действительные числа для $i=1,\ldots ,n$), мы можем определить следующие отношения:

• $x=y$, если $x_{i}=y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$.
• $x<y$, если $x_{i}<y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$.
• $x\leq y$, если $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$ и $x\neq y$.
• $x\leqq y$, если $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$.

Аналогичным образом мы можем определить отношения для $x>y$, $x\geq y$, и $x\geqq y$. Эти обозначения согласуются с обозначениями, использованными Матиасом Эрготтом в «Многокритериальной оптимизации» (см. «Ссылки»).

( Свойство трихотомии как указано выше ) недопустимо для векторных отношений. Например, когда $x=(2,5)^{\mathsf {T}}$ и $y=(3,4)^{\mathsf {T}}$, между этими двумя векторами не существует действительного отношения неравенства. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует параллельное свойство для векторных неравенств.

Системы неравенств

Системы линейных неравенств можно упростить методом исключения Фурье – Моцкина .

Цилиндрическая алгебраическая декомпозиция — это алгоритм, позволяющий проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это активная область исследований по разработке алгоритмов, более эффективных в конкретных случаях.

См. также

• Бинарное отношение
• Скобка (математика) для использования аналогичных знаков ‹ и › в качестве скобок.
• Инклюзия (теория множеств)
• Неравенство
• Интервал (математика)
• Список неравенств
• Список неравенств треугольника
• Частично заказанный комплект
• Операторы отношения , используемые в языках программирования для обозначения неравенства.

Источники

• Харди Г., Литтлвуд Дж. Э., Полиа Г. (1999). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-05206-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Бекенбах, Э.Ф., Беллман, Р. (1975). Введение в неравенства . Random House Inc. ISBN  0-394-01559-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Драхман, Байрон К., Клауд, Майкл Дж. (1998). Неравенства: с приложениями к технике . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-98404-6 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Гриншпан, А.З. (2005), «Общие неравенства, последствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• Мюррей С. Кламкин. « Неравенства по-быстрому» (PDF) . Математические стратегии . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства» . Электронная онлайн-книга в формате PDF.
• Гарольд Шапиро (2005). «Решение математических задач» . Семинар по старым проблемам . Королевский технологический институт.
• «3-й USAMO» . Архивировано из оригинала 3 февраля 2008 г.
• Пачпатте, Б.Г. (2005). Математические неравенства . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 67 (первое изд.). Амстердам, Нидерланды: Elsevier . ISBN  0-444-51795-2 . ISSN   0924-6509 . МР   2147066 . Збл   1091.26008 .
• Эрготт, Матиас (2005). Многокритериальная оптимизация . Шпрингер-Берлин. ISBN  3-540-21398-8 .
• Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-54677-5 .

Внешние ссылки

• «Неравенство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• График неравенства Эда Пегга-младшего.
• Запись AoPS Wiki о неравенстве