Скобка (математика)

В математике в математических скобки различных типографских форм, такие как круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ], фигурные скобки { } и угловые скобки часто используются обозначениях ⟨ ⟩ . Обычно такое заключение в скобки обозначает некоторую форму группировки: при вычислении выражения, содержащего подвыражение в квадратных скобках, операторы в подвыражении имеют приоритет над операторами, окружающими его. Иногда для ясности чтения используются разные виды скобок для выражения одного и того же значения приоритета в одном выражении с глубокой вложенностью подвыражений. ^[1]

Исторически и другие обозначения, такие как винкулум для группировки аналогичным образом использовались . В современном использовании все эти обозначения имеют определенное значение. Самое раннее использование скобок для обозначения агрегирования (т.е. группировки) было предложено в 1608 году Кристофером Клавиусом и в 1629 году Альбертом Жираром . ^[2]

Символы для обозначения угловых скобок

Для обозначения угловых скобок используются различные символы. В электронной почте и другом тексте ASCII обычно используется знак «меньше» ( <) и больше ( >) знаки, обозначающие угловые скобки, поскольку ASCII не включает угловые скобки. ^[3]

В Unicode есть пары специальных символов; кроме символов «меньше» и «больше», к ним относятся:

U + 27E8 ⟨ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛЕВАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА и U + 27E9 ⟩ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРАВАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА
U + 29FC ⧼ ИЗОГНУТАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА, НАПРАВЛЯЮЩАЯ ВЛЕВО , и U+29FD ⧽ ИЗОГНУТЫЙ УГЛОВОЙ КРОНШТЕЙН, НАПРАВЛЯЮЩИЙ ПРАВО
U + 2991 ⦑ ЛЕВАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА С ТОЧКОЙ и U + 2992 ⦒ ПРАВАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА С ТОЧКОЙ
U+27EA ⟪ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛЕВАЯ ДВОЙНАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА и U+27EB ⟫ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДВОЙНАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА
U + 2329 〈 УГЛОВАЯ СКОБКА ВЛЕВО и U + 232A 〉 ПРАВАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА , которые устарели. ^[4]

В LaTeX разметка \langle и \rangle: $\langle \ \rangle$ .

К нематематическим угловым скобкам относятся:

U + 3008 〈 ЛЕВАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА и U + 3009 〉 ПРАВАЯ УГЛОВАЯ СКОБКА , используется в восточноазиатских текстовых цитатах.
U+276C ❬ СРЕДНЯЯ УГЛОВАЯ СКОБКА, НАПРАВЛЯЮЩАЯ ВЛЕВО, ОРНАМЕНТ и U + 276D ❭ СРЕДНИЙ ОРНАМЕНТ ПРАВОЙ УГЛОВОЙ СКОБКИ , представляющий собой дингбатов.

Есть дополнительные дингбаты с увеличенной толщиной линии, ^[5] много угловых кавычек и устаревших символов.

Алгебра

В элементарной алгебре круглые скобки ( ) используются для указания порядка операций . ^[1] Условия внутри скобок оцениваются в первую очередь; следовательно, 2×(3 + 4) равно 14, 20 ÷ (5(1 + 1)) равно 2 и (2×3) + 4 равно 10. Это обозначение расширено для охвата более общей алгебры , включающей переменные: например $(x + y) \times (Икс - y)$ . Квадратные скобки также часто используются вместо второго набора круглых скобок, когда они вложены, чтобы обеспечить визуальное различие.

В математических выражениях в целом круглые скобки также используются для обозначения группировки (т. е. того, какие части принадлежат друг другу), когда они съедобны, чтобы избежать двусмысленности и улучшить ясность. Например, в формуле $(\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Cod\,\eta _{X}}\eta _{X}$ , используемый в определении композиции двух естественных преобразований , круглые скобки вокруг $\varepsilon \eta$ служат для обозначения того, что индексация по $X$ наносится на состав $\varepsilon \eta$ , а не только его последний компонент $\eta$ .

Функции

Аргументы функции часто заключаются в скобки: $f(x)$ . В некоторых стандартных функциях, когда вероятность неоднозначности незначительна, обычно вообще не заключают круглые скобки вокруг аргумента (например, $\sin x$ ). Обратите внимание, что это никогда не делается с общей функцией $f$ , и в этом случае скобки всегда включаются

Координаты и векторы

В декартовой системе координат скобки используются для указания координат точки. Например, (2,3) обозначает точку с координатой x 2 и координатой y 3.

Внутренний продукт двух векторов обычно записывается как $\langle a,b\rangle$ обозначение ( a , b , но также используется ).

Интервалы

также можно использовать круглые скобки ( ) и квадратные скобки [ ] Для обозначения интервала . Обозначения $[a,c)$ используется для обозначения интервала от a до c, включающего $a$ — но исключая $c$ . То есть, $[5,12)$ будет набор всех действительных чисел от 5 до 12, включая 5, но не 12. Здесь числа могут сколь угодно приближаться к 12, включая 11,999 и т. д. (с любым конечным числом девяток), но 12,0 не включено.

В некоторых европейских странах обозначение $[5,12[$ также используется для этого, и везде, где в качестве десятичного разделителя используется запятая , точку с запятой (например, во избежание двусмысленности в качестве разделителя можно использовать $(0;1)$ ). ^[6]

Конечная точка, примыкающая к квадратной скобке, называется закрытой , а конечная точка, примыкающая к скобкам, называется открытой . Если оба типа скобок одинаковы, весь интервал можно назвать закрытым или открытым в зависимости от обстоятельств. Всякий раз, когда в качестве конечной точки используется бесконечность или отрицательная бесконечность (в случае интервалов на прямой числовой линии ), она всегда считается открытой и примыкает к скобкам. Конечная точка может быть закрыта при рассмотрении интервалов на расширенной линии действительных чисел .

Распространенным соглашением в дискретной математике является определение $[n]$ как набор положительных целых чисел, меньших или равных $n$ . То есть, $[5]$ будет соответствовать набору $\{1,2,3,4,5\}$ .

Наборы и группы

Фигурные скобки {} используются для идентификации элементов множества . Например, { a , b , c } обозначает набор из трех элементов a , b и c .

Угловые скобки ⟨ ⟩ используются в теории групп и коммутативной алгебре для указания представления группы и для обозначения подгруппы или идеала , порожденного набором элементов.

Матрицы

Явно заданная матрица обычно записывается в больших круглых или квадратных скобках:

{\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}

Производные

Обозначения

f^{(n)}(x)

обозначает n -ю производную функции f , примененную к аргументу x . Так, например, если $f(x)=\exp(\lambda x)$ , затем $f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)$ . Это следует противопоставить $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ , n -кратное применение f к аргументу x .

Падающий и растущий факториал

Обозначения $(x)_{n}$ используется для обозначения падающего факториала , n -й степени полинома , определяемого формулой

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}.

В качестве альтернативы можно встретить то же обозначение, обозначающее возрастающий факториал , также называемый « символом Поххаммера ». Другое обозначение того же самого: $x^{(n)}$ . Его можно определить по

x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.

Квантовая механика

В квантовой механике угловые скобки также используются как часть формализма Дирака , обозначения брекета , для обозначения векторов из двойственных пространств бра. $\left\langle A\right|$ и кет $\left|B\right\rangle$ .

В статистической механике угловые скобки обозначают ансамбль или среднее по времени.

Полиномиальные кольца

Квадратные скобки используются для помещения переменных в кольца полиномов . Например, $\mathbb {R} [x]$ — кольцо многочленов с действительными коэффициентами и переменной $x$ . ^[7]

Подкольцо, созданное элементом или коллекцией элементов

Если $A$ — подкольцо кольца $B$ , а $b$ — элемент $B$ , то $A [b]$ обозначает подкольцо $B,$ порожденное $A$ и $b$ . Это подкольцо состоит из всех элементов, которые можно получить, начиная с элементов $A$ и $b$ , путем многократного сложения и умножения; эквивалентно, это наименьшее подкольцо $B$ , содержащее $A$ и $b$ . Например, $\mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]$ — наименьшее подкольцо $C,$ содержащее все целые числа и ${\sqrt {-2}}$ ; он состоит из всех чисел вида $m+n{\sqrt {-2}}$ , где $m$ и $n$ — произвольные целые числа. Другой пример: $\mathbf {Z} [1/2]$ — подкольцо $Q$ , состоящее из всех рациональных чисел, знаменатель которых равен степени $2$ .

В более общем смысле, если $A$ является подкольцом кольца $B$ и $b_{1},\ldots ,b_{n}\in B$ , затем $A[b_{1},\ldots ,b_{n}]$ обозначает подкольцо $B,$ порожденное $A$ , и $b_{1},\ldots ,b_{n}\in B$ . В более общем смысле, если $S$ — подмножество $B$ , то $A [S]$ — подкольцо $B$ порожденное $A$ и $S.$ ,

Кронштейн и коммутатор

В теории групп и теории колец используются квадратные скобки для обозначения коммутатора . В теории групп коммутатор [ g , h ] обычно определяется как g ⁻¹час ⁻¹хх . В теории колец коммутатор [ a , b ] определяется как ab − ba . можно использовать фигурные скобки Кроме того, для обозначения антикоммутатора : { a , b } определяется как ab + ba .

Скобка Ли алгебры Ли — это бинарная операция , обозначаемая $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ . Используя коммутатор в качестве скобки Ли, любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли. Существует много различных форм скобок Ли , в частности производная Ли и скобка Якоби–Ли .

Функции пола/потолка и дробная часть

Функции пола и потолка обычно набираются с помощью левой и правой квадратных скобок, в которых отображаются только нижняя (для функции пола) или верхняя (для функции потолка) горизонтальные полосы, как в $⌊π⌋ = 3$ или $⌈π⌉ = 4$ . Однако квадратные скобки, как в $[π] = 3$ , иногда используются для обозначения функции пола , которая округляет действительное число до следующего целого числа. И наоборот, некоторые авторы используют квадратные скобки, направленные наружу, для обозначения функции потолка, как в $]π[ = 4$ .

Фигурные скобки, например ${π} < 1 / 7$ , может обозначать дробную часть действительного числа.

См. также

Биномиальный коэффициент
Скобочный полином
Обозначение бра-кета
Разделитель
язык Дейка
Кронштейн Фрелихера – Ниенхейса
Кронштейн Айверсона
Скобка Нийенхейса-Ричардсона , также известная как алгебраическая скобка .
Символ Поххаммера
скобка Пуассона
скобка Схоутена – Нийенхейса

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Рассел, Деб. «Когда и где использовать скобки, фигурные скобки и скобки в математике» . МысльКо . Архивировано из оригинала 8 июля 2017 г. Проверено 9 августа 2020 г.
^ Каджори , Флориан 1980. История математики . Нью-Йорк: Издательство Челси, с. 158
^ Рэймонд, Эрик С. (1996), Словарь нового хакера , MIT Press, стр. 41, ISBN 9780262680929 .
^ «Разное техническое» (PDF) . unicode.org.
^ «Дингбаты» . unicode.org . 25 апреля 2020 г. Проверено 25 апреля 2020 г.
^ «Интервальная запись | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.орг . Проверено 9 августа 2020 г.
^ Стюарт, Ян (1995). Концепции современной математики . Дуврские публикации. п. 90. ИСБН 9780486284248 .

[:1-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Рассел, Деб. «Когда и где использовать скобки, фигурные скобки и скобки в математике» . МысльКо . Архивировано из оригинала 8 июля 2017 г. Проверено 9 августа 2020 г.

[2] Каджори , Флориан 1980. История математики . Нью-Йорк: Издательство Челси, с. 158

[3] Рэймонд, Эрик С. (1996), Словарь нового хакера , MIT Press, стр. 41, ISBN 9780262680929 .

[4] «Разное техническое» (PDF) . unicode.org.

[5] «Дингбаты» . unicode.org . 25 апреля 2020 г. Проверено 25 апреля 2020 г.

[6] «Интервальная запись | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.орг . Проверено 9 августа 2020 г.

[7] Стюарт, Ян (1995). Концепции современной математики . Дуврские публикации. п. 90. ИСБН 9780486284248 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]