Генераторная установка группы

Корни пятой степени из единицы в комплексной плоскости образуют группу при умножении. Каждый неидентичный элемент генерирует группу.

В абстрактной алгебре порождающий набор группы — это такое подмножество группового множества, что каждый элемент группы может быть выражен как комбинация (при групповой операции) конечного числа элементов подмножества и их обратных .

Другими словами, если $S$ является подмножеством группы $G$ , затем $\langle S\rangle$ , подгруппа, порожденная $S$ наименьшей подгруппой , является $G$ содержащий каждый элемент $S$ , что равно пересечению по всем подгруппам, содержащим элементы $S$ ; эквивалентно, $\langle S\rangle$ является подгруппой всех элементов $G$ которое можно выразить как конечное произведение элементов в $S$ и их обратные. (Обратите внимание, что обратные элементы необходимы только в том случае, если группа бесконечна; в конечной группе обратный элемент может быть выражен как степень этого элемента.)

Если $G=\langle S\rangle$ , тогда мы говорим, что $S$ генерирует $G$ , а элементы в $S$ называются генераторами или генераторами групп . Если $S$ пустое множество, тогда $\langle S\rangle$ это тривиальная группа $\{e\}$ , поскольку мы считаем пустое произведение тождеством.

Когда есть только один элемент $x$ в $S$ , $\langle S\rangle$ обычно записывается как $\langle x\rangle$ . В этом случае, $\langle x\rangle$ является циклической подгруппой степеней $x$ , циклическая группа , и мы говорим, что эта группа порождается $x$ . Эквивалентно произнесению элемента $x$ генерирует группу, говорит, что $\langle x\rangle$ равен всей группе $G$ . Для конечных групп это также эквивалентно тому, что $x$ имеет порядок $|G|$ .

Группе может потребоваться бесконечное количество генераторов. Например, аддитивная группа рациональных чисел $\mathbb {Q}$ не является конечно порожденным. Он генерируется обратными значениями всех целых чисел, но любое конечное число этих генераторов можно удалить из порождающего набора, не переставая быть порождающим набором. В таком случае все элементы в порождающем наборе, тем не менее, являются «непорождающими элементами», как и фактически все элементы всей группы — см. подгруппу Фраттини ниже.

Если $G$ является топологической группой , то ее подмножество $S$ из $G$ называется набором топологических образующих, если $\langle S\rangle$ плотный в $G$ , то закрытие есть $\langle S\rangle$ это вся группа $G$ .

Конечно сгенерированная группа

Если $S$ конечна, то группа $G=\langle S\rangle$ называется конечно порожденным . структура конечно порожденных абелевых групп В частности, легко описывается . Многие теоремы, верные для конечно порожденных групп, неверны для групп вообще. Доказано, что если конечная группа порождается подмножеством $S$ , то каждый элемент группы можно выразить словом из алфавита $S$ длины меньше или равной порядку группы.

Любая конечная группа конечно порождена, поскольку $\langle G\rangle =G$ . являются Складываемые целые числа примером бесконечной группы, которая конечно порождается как 1, так и -1, но группа рациональных чисел складываемая не может быть конечно порожденной. Никакая несчетная группа не может быть конечно порождена. Например, складываемая группа действительных чисел, $(\mathbb {R} ,+)$ .

Различные подмножества одной и той же группы могут быть порождающими подмножествами. Например, если $p$ и $q$ являются целыми числами с $НОД (p, q) = 1$ , тогда $\{p,q\}$ также генерирует группу целых чисел, сложенных по тождеству Безу .

Хотя верно, что каждый фактор конечно порожденной группы конечно порожден (образы генераторов в факторе дают конечный порождающий набор), подгруппа конечно порожденной группы не обязательно должна быть конечно порожденной. Например, пусть $G$ — свободная группа в двух образующих, $x$ и $y$ (которая, очевидно, конечно порождена, поскольку $G=\langle \{x,y\}\rangle$ ), и пусть $S$ — подмножество, состоящее из всех элементов $G$ формы $y^{n}xy^{-n}$ для некоторого натурального числа $n$ . $\langle S\rangle$ изоморфна . свободной группе по счетному бесконечному числу образующих и поэтому не может быть конечно порождена Однако каждая подгруппа конечно порожденной абелевой группы сама по себе конечно порождена. На самом деле можно сказать больше: класс всех конечно порожденных групп замкнут относительно расширений . Чтобы убедиться в этом, возьмем порождающий набор для (конечно порожденной) нормальной подгруппы и фактора. Тогда образующие нормальной подгруппы вместе с прообразами образующих фактора порождают группу.

Примеры

Мультипликативная группа целых чисел по модулю 9 , $U 9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$ , представляет собой группу всех целых чисел, относительно простых с 9 при умножении $по модулю 9$ . Заметим, что 7 не является генератором $U 9$ , поскольку
$\{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},$
а 2 есть, так как
$\{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.$

С другой стороны, Sn ₎ , симметрическая группа степени n , не порождается ни одним элементом (не является циклической , когда n > 2. Однако в этих случаях Sn _{всегда может быть порождена двумя перестановками ,} которые записаны в обозначение цикла как (1 2) и $(1 2 3 ... n)$ . Например, 6 элементов S ₃ могут быть сгенерированы из двух генераторов (1 2) и (1 2 3), как показано в правой части следующих уравнений (композиция ведется слева направо):

е = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

Бесконечные группы также могут иметь конечные порождающие множества. Аддитивная группа целых чисел имеет 1 в качестве порождающего набора. Элемент 2 не является генератором, так как нечетные числа будут отсутствовать. Двухэлементное подмножество ${3, 5}$ является порождающим множеством, поскольку $(-5) + 3 + 3 = 1$ (фактически, любая пара взаимно простых чисел является таковой, как следствие тождества Безу ).

Группа диэдра n -угольника (имеющего порядок $2n$ ) порождается набором ${r, s}$ , где $r$ представляет вращение на $2 π / n,$ а $s$ — любое отражение через линию симметрии. ^[1]

Циклическая группа порядка $n$ , $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ и $n$ ^й все корни из единицы порождены одним элементом (фактически эти группы изоморфны друг другу). ^[2]

Представление группы определяется как набор генераторов и набор отношений между ними, поэтому любой из примеров, перечисленных на этой странице, содержит примеры порождающих наборов. ^[3]

Бесплатная группа

Самая общая группа, порожденная множеством $S$ является ли группа свободно порожденной $S$ . Каждая группа, созданная $S$ изоморфен , и фактору этой группы группы это свойство используется при выражении представления .

Подгруппа Фраттини

Интересная сопутствующая тема — это негенераторы . Элемент $x$ группы $G$ является негенератором, если каждое множество $S$ содержащий $x$ который генерирует $G$ , все еще генерирует $G$ когда $x$ удален из $S$ . В целых числах со сложением единственным негенератором является 0. Множество всех негенераторов образует подгруппу $G$ , подгруппа Фраттини .

Полугруппы и моноиды

Если $G$ является полугруппой или моноидом , можно по-прежнему использовать понятие порождающего набора $S$ из $G$ . $S$ является порождающим набором полугруппы/моноида $G$ если $G$ - наименьшая полугруппа/моноид, содержащая $S$ .

Определения порождающего множества группы, использующие конечные суммы, данные выше, необходимо немного видоизменить, когда речь идет о полугруппах или моноидах. Действительно, в этом определении больше не должно использоваться понятие обратной операции. Набор $S$ называется полугрупповым порождающим множеством $G$ если каждый элемент $G$ представляет собой конечную сумму элементов $S$ . Аналогично, набор $S$ называется моноидным порождающим множеством $G$ если каждый ненулевой элемент $G$ представляет собой конечную сумму элементов $S$ .

Например, {1} — моноидный генератор множества натуральных чисел. $\mathbb {N}$ . Множество {1} также является полугрупповым генератором положительных натуральных чисел. $\mathbb {N} _{>0}$ . Однако целое число 0 не может быть выражено как (непустая) сумма единиц, поэтому {1} не является генератором полугруппы натуральных чисел.

Аналогично, хотя {1} является групповым генератором множества целых чисел $\mathbb {Z}$ , {1} не является генератором моноида множества целых чисел. Действительно, целое число −1 не может быть выражено как конечная сумма единиц.

См. также

Генерирующий набор для связанных значений в других структурах
Презентация группы
Примитивный элемент (конечное поле)
Граф Кэли

Примечания

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. п. 25. ISBN 9780471452348 . OCLC 248917264 .
^ Даммит и Фут 2004 , с. 54
^ Даммит и Фут 2004 , с. 26

Ссылки

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 , Збл 0984.00001
Коксетер, HSM; Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Спрингер. ISBN 0-387-09212-9 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Групповые генераторы» . Математический мир .

[1] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. п. 25. ISBN 9780471452348 . OCLC 248917264 .

[2] Даммит и Фут 2004 , с. 54

[3] Даммит и Фут 2004 , с. 26

[1]

[2]

[3]