Порядок действий

Не путать с оперативным приказом .

В математике и компьютерном программировании порядок операций представляет собой набор правил, которые отражают соглашения о том, какие операции следует выполнить в первую очередь, чтобы вычислить данное математическое выражение .

Эти правила формализованы ранжированием операций. Ранг операции называется ее приоритетом , и операция с более высоким приоритетом выполняется раньше операций с более низким приоритетом. Калькуляторы обычно выполняют операции с одинаковым приоритетом слева направо. но некоторые языки программирования и калькуляторы используют другие соглашения.

Например, умножению предоставляется более высокий приоритет, чем сложению, и так было с момента введения современной алгебраической записи . Таким образом, в выражении 1+2×3 умножение производится перед сложением, и выражение имеет значение 1+(2×3)=7 , а не (1+2)×3=9 . Когда в XVI и XVII веках были введены показатели степени, им был отдан приоритет над сложением и умножением, и они помещались в виде верхнего индекса справа от их основания. Таким образом, 3 + 5 ² = 28 и 3 × 5 ² = 75 .

Эти соглашения существуют, чтобы избежать двусмысленности обозначений , позволяя при этом обозначениям оставаться краткими. Если необходимо переопределить соглашения о приоритете или даже просто подчеркнуть их, круглые скобки можно использовать ( ). Например, (2 + 3) × 4 = 20 заставляет сложение предшествовать умножению, а (3 + 5) ² = Добавление 64 сил предшествует возведению в степень . Если в математическом выражении требуется несколько пар круглых скобок (например, в случае вложенных круглых скобок), круглые скобки можно заменить квадратными или фигурными скобками, чтобы избежать путаницы, как в [2 × (3 + 4)] − 5 = 9. .

обычная нотация (называемая инфиксной нотацией Эти правила имеют смысл только тогда, когда используется ). Когда для всех операций используется функциональная или польская нотация , порядок операций определяется самой нотацией.

Обычный порядок

Порядок операций, то есть порядок, в котором обычно выполняются операции в выражении, является результатом соглашения, принятого в математике, науке, технике и во многих языках компьютерного программирования . Это резюмируется как:

1. Круглые скобки
2. Возведение в степень
3. Умножение и деление
4. Сложение и вычитание

Это означает, что для вычисления выражения сначала вычисляется любое подвыражение внутри круглых скобок, работая изнутри наружу, если имеется более одного набора. Независимо от того, внутри скобок или нет, сначала следует применить операцию, расположенную выше в приведенном выше списке. Операции с одинаковым приоритетом традиционно оцениваются слева направо.

Если каждое деление заменяется умножением на обратное (мультипликативное обратное), то ассоциативные и коммутативные законы умножения позволяют множители в каждом члене умножать в любом порядке. Иногда умножению и делению присваивается равный приоритет, а иногда умножению присваивается более высокий приоритет, чем делению; см. § Смешанное деление и умножение ниже. Если каждое вычитание заменить сложением противоположного ( аддитивное обратное), то ассоциативные и коммутативные законы сложения позволяют складывать члены в любом порядке.

Корневой символ √ традиционно удлиняется чертой (называемой винкулом ) над подкоренным выражением (это позволяет избежать необходимости заключать круглые скобки вокруг подкоренного выражения). Другие функции используют круглые скобки вокруг входных данных, чтобы избежать двусмысленности. Круглые скобки можно опустить, если входные данные представляют собой одну числовую переменную или константу. как и в случае sin x = sin( x ) и sin π = sin(π) . Традиционно это соглашение распространяется на одночлены ; таким образом, sin 3 x = sin(3 x ) и даже sin 1/2 y , xy = sin( xy 2) , но sin x + y = sin( x ) + / поскольку x + y не является мономом. Однако это соглашение не является общепринятым, и некоторые авторы предпочитают явные круглые скобки. Некоторые калькуляторы и языки программирования требуют скобок для ввода функций, некоторые — нет.

Символы группировки можно использовать для отмены обычного порядка операций. Сгруппированные символы можно рассматривать как одно выражение. Символы группировки можно удалить, используя ассоциативные и дистрибутивные законы, а также их можно удалить, если выражение внутри символа группировки достаточно упрощено и их удаление не приводит к неоднозначности.

Примеры

Умножение перед сложением:

$1+2\times 3=1+6=7.$

Подвыражения в скобках оцениваются первыми:

$(1+2)\times 3=3\times 3=9.$

Возведение в степень перед умножением, умножение перед вычитанием:

$1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.$

Когда выражение записано в виде верхнего индекса, верхний индекс считается сгруппированным по его положению над основанием:

$1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129.$

Операнд корневого символа определяется верхней чертой:

${\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.$

Горизонтальная дробная черта также выступает символом группировки:

${\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.$

Круглые скобки могут быть вложенными и должны оцениваться изнутри наружу. Для удобства чтения внешние скобки можно сделать крупнее внутренних. Альтернативно, другие символы группировки, такие как фигурные скобки { } или квадратные скобки [ ] , иногда используются вместе с круглыми скобками ( ) . Например:

${\bigl [}(1+2)\div (3+4){\bigr ]}+5=(3\div 7)+5$

Особые случаи

Унарный знак минус

Существуют разные соглашения относительно унарной операции   «-» (обычно произносится как «минус»). В письменной или печатной математике выражение −3 ² интерпретируется как означает −(3 ² ) = −9 .

В некоторых приложениях и языках программирования, особенно в Microsoft Excel , PlanMaker (и других приложениях для работы с электронными таблицами) и языке программирования bc , унарные операции имеют более высокий приоритет, чем двоичные операции, то есть унарный минус имеет более высокий приоритет, чем возведение в степень, поэтому в этих языках −3 ² будет интерпретироваться как (−3) ² = 9 . Это не относится к операции двоичного минуса «-»; например, в Microsoft Excel, а формулы =-2^2, =-(2)^2 и =0+-2^2 вернуть 4, формулы =0-2^2 и =-(2^2) вернуть −4.

Смешанное деление и умножение

Не существует универсального соглашения для интерпретации термина, содержащего как деление, обозначаемое «÷», так и умножение, обозначаемое «×». Предлагаемые соглашения включают присвоение операциям равного приоритета и их оценку слева направо или, что эквивалентно, рассмотрение деления как умножения на обратное число с последующим вычислением в любом порядке; сначала оценивается все умножение, а затем деление слева направо; или избегать таких выражений и вместо этого всегда устранять их неоднозначность с помощью явных круглых скобок.

За пределами начального образования символ деления «÷» используется редко, но заменяется использованием алгебраических дробей . обычно пишется вертикально, при этом числитель располагается над знаменателем, что делает группировку явной и однозначной, но иногда пишется строкой с использованием косой черты или символа косой черты «/».

Умножение, обозначаемое сопоставлением (также известное как подразумеваемое умножение ), создает визуальную единицу и имеет более высокий приоритет, чем большинство других операций. В академической литературе, когда строчные дроби комбинируются с подразумеваемым умножением без явных круглых скобок, умножение традиционно интерпретируется как имеющее более высокий приоритет, чем деление, так что, например, 1/2 n интерпретируется как 1/(2 · n ) , а не (1). / 2) · н . Например, в инструкциях по подаче рукописей для журналов Physical Review прямо указано, что умножение имеет приоритет над делением. и это также правило, наблюдаемое в учебниках физики, таких как « Курс теоретической физики» Ландау . и Лифшица и учебники математики, такие как Конкретная математика» Грэма « , Кнута и Паташника . Однако некоторые авторы не рекомендуют использовать такие выражения, как a / bc , предпочитая явное использование круглых скобок a /( bc ) .

Более сложные случаи более неоднозначны. Например, обозначение 1/2 π ( a + b ) может означать либо 1 / [2 π · ( а + б )] или [1 / (2 π )] · ( а + б ) . Иногда интерпретация зависит от контекста. Инструкции по подаче на физический обзор не рекомендуют использовать выражения формы a / b / c ; более явные выражения ( a / b )/ c или a /( b / c ) однозначны.

6÷2(1+2) интерпретируется как 6÷(2×(1+2)) калькулятором fx-82MS (верхний), а (6÷2)×(1+2) калькулятором -83 Plus. TI (нижний) соответственно.

Эта двусмысленность стала предметом интернет-мемов , таких как « 8 ÷ 2(2 + 2) », для которых существуют две противоречивые интерпретации: 8 ÷ [2 · (2 ​​+ 2)] = 1 и (8 ÷ 2) · (2 + 2) = 16. Исследователь математического образования Хун-Си Ву отмечает, что «в реальной жизни никто никогда не получает вычислений такого типа», и называет такие надуманные примеры «своего рода салонной игрой «Попался!», предназначенной для того, чтобы заманить в ловушку ничего не подозревающего человека, сформулировав его в терминах набор необоснованно запутанных правил».

Последовательное возведение в степень

Если возведение в степень обозначается сложенными символами с использованием надстрочной нотации, обычное правило - работать сверху вниз:

а ^{б с} = а ^{( б с )}

который обычно не равен ( a ^б ) ^с . Это соглашение полезно, поскольку существует свойство возведения в степень , которое ( a ^б ) ^с = а ^{До нашей эры} , поэтому для этого нет необходимости использовать последовательное возведение в степень.

Однако когда возведение в степень представлено явным символом, таким как каретка (^) или стрелка (↑), общего стандарта не существует. Например, Microsoft Excel и язык вычислительного программирования MATLAB оценивают a^b^c как ​ ^б ) ^с , но Google Search и Wolfram как Alpha ^{( б с )} . Таким образом 4^3^2 оценивается в 4096 в первом случае и в 262144 во втором случае.

Мнемоника

Мнемотехника часто используется, чтобы помочь учащимся запомнить правила, в которых используются первые буквы слов, обозначающие различные действия.

• Аббревиатура PEMDAS распространена в США. и Франция. Это означает скобки , показатели степени , умножение / деление , сложение / вычитание . PEMDAS иногда расширяется до мнемонического выражения «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли» в школах.
• БЕДМАС , что означает « скобки», « экспоненты», « деление/ умножение », «сложение / вычитание », распространено в Канаде и Новой Зеландии.

• Великобритания и другие Содружества страны могут использовать БОДМАС, означающее скобки , операции , деление / умножение , сложение / вычитание . Иногда О расширяется до «Of». или «Порядок» (т.е. степени/показатели или корни).
• BIDMAS Также используется , обозначающий скобки , индексы , деление / умножение , сложение / вычитание .
• В Германии это соглашение просто преподается как Punktrechnung vor Strichrechnung : точечные операции предшествуют линейным операциям, что относится к графическим формам обученных знаков оператора. U+00B7 · СРЕДНЯЯ ТОЧКА (умножение), U + 2236 ∶ СООТНОШЕНИЕ (деление) и U+002B + ЗНАК ПЛЮС (дополнение), U + 2212 — ЗНАК МИНУС (вычитание).

При таком написании эта мнемоника может вводить в заблуждение. Например, неверное истолкование любого из приведенных выше правил как означающее «сначала сложение, потом вычитание» приведет к неправильной оценке выражения. $a-b+c$ как $a-(b+c)$, а правильная оценка $(a-b)+c$. Эти значения различны, когда $c\neq 0$.

Мнемонические аббревиатуры подвергались критике за то, что они не развивают концептуального понимания порядка операций и не отвечают на вопросы учащихся о его цели или гибкости. Студенты, изучающие порядок действий с помощью мнемонических сокращений, регулярно допускают ошибки. как и некоторые будущие преподаватели. Даже когда учащиеся правильно усваивают аббревиатуру, непропорциональное внимание к запоминанию мелочей вытесняет существенное математическое содержание. Процедурное применение аббревиатуры не соответствует интуитивному пониманию экспертами математической нотации: математическая нотация указывает на группировку способами, отличными от круглых или квадратных скобок, а математическое выражение представляет собой древовидную иерархию, а не линейно «упорядоченную» структуру; более того, не существует единого порядка, в соответствии с которым математические выражения должны упрощаться или оцениваться, а также нет универсального канонического упрощения для любого конкретного выражения, и эксперты свободно применяют допустимые преобразования и замены в любом удобном порядке, поэтому изучение жесткой процедуры может привести студентов к вводящее в заблуждение и ограничивающее понимание математических обозначений.

Калькуляторы

Основная статья: Методы ввода калькулятора

Разные калькуляторы выполняют разные порядки операций. Многие простые калькуляторы без стека реализуют цепочку ввода , работая в порядке нажатия кнопок без какого-либо приоритета для различных операций, и дают результат, отличный от того, который дают более сложные калькуляторы. Например, на простом калькуляторе наберите 1 + 2 × 3 = дает 9, тогда как более сложный калькулятор будет использовать более стандартный приоритет, поэтому наберите 1 + 2 × 3 = дает 7.

Калькуляторы могут ассоциировать показатели степени слева или справа. Например, выражение a^b^c интерпретируется как ^{( б с )} на TI-92 и TI-30XS MultiView в «режиме Mathprint», тогда как он интерпретируется как ( ^б ) ^с на TI-30XII и TI-30XS MultiView в «Классическом режиме».

Выражение вроде 1/2x интерпретируется как 1/(2 x ) по TI-82 , а также многие современные Casio калькуляторы (настраивается на некоторых калькуляторах, например fx-9750GIII ), но как (1/2) x у TI-83 и любого другого калькулятора TI, выпущенного с 1996 года, а также всеми калькуляторами Hewlett-Packard с алгебраической записью. Хотя некоторые пользователи могут ожидать первую интерпретацию из-за природы подразумеваемого умножения , последнее больше соответствует правилу, согласно которому умножение и деление имеют равный приоритет.

Если пользователь не уверен, как калькулятор интерпретирует выражение, для устранения двусмысленности можно использовать круглые скобки.

Порядок операций возник благодаря адаптации инфиксной нотации в стандартной математической нотации , которая может быть неоднозначной без таких соглашений, в отличие от постфиксной нотации или префиксной нотации , которые не нуждаются в порядках операций. Следовательно, калькуляторы, использующие обратную польскую нотацию (RPN), использующие стек для ввода выражений в правильном порядке старшинства, не нуждаются в круглых скобках или каком-либо возможном порядке выполнения, специфичном для модели.

Языки программирования

Большинство языков программирования используют уровни приоритета, соответствующие порядку, обычно используемому в математике. хотя другие, такие как APL , Smalltalk , Occam и Mary , не имеют правил приоритета операторов (в APL вычисление производится строго справа налево; в Smalltalk — строго слева направо).

Более того, поскольку многие операторы не являются ассоциативными, порядок внутри любого отдельного уровня обычно определяется путем группировки слева направо, так что 16/4/4интерпретируется как (16/4)/4 = 1, а не 16/(4/4) = 16 ; такие операторы называются «левоассоциативными». Исключения существуют; например, языки с операторами, соответствующими операции cons в списках, обычно группируют их справа налево («правая ассоциативность»), например в Haskell , 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].

Деннис Ритчи , создатель языка C , сказал о приоритете в C (разделенном языками программирования, заимствовавшими эти правила из C, например, C++ , Perl и PHP ), что было бы предпочтительнее переместить побитовые операторы над сравнением. операторы . Многие программисты привыкли к такому порядку, но более поздние популярные языки, такие как Python, и Руби изменить этот порядок. Относительные уровни приоритета операторов, встречающиеся во многих языках стиля C, следующие:

1	()   []   ->   .   ::	Вызов функции, область действия, доступ к массиву/члену
2	!   ~   -   +   *   &   sizeof   тип приведения   ++   --	(большинство) унарных операторов, приведение типов sizeof и типов (справа налево)
3	*   /   % MOD	Умножение, деление, по модулю
4	+   -	Сложение и вычитание
5	<<   >>	Побитовый сдвиг влево и вправо
6	<   <=   >   >=	Сравнения: меньше и больше.
7	==   !=	Сравнения: равные и не равные
8	&	Побитовое И
9	^	Побитовое исключающее ИЛИ (XOR)
10	|	Побитовое включение (нормальное) ИЛИ
11	&&	Логическое И
12	||	Логическое ИЛИ
13	? :	Условное выражение (троичное)
14	=   +=   -=   *=   /=   %=   &=   |=   ^=   <<=   >>=	Операторы присваивания (справа налево)
15	,	Оператор запятая

Упрощенная формальная грамматика арифметических выражений на языке программирования (слева) , и вывод примера выражения (a+b)^2/2 (верно) . Последнее соответствует иерархической структуре (« синтаксическому дереву »), уникальной для данного выражения. Компилятор . генерирует машинный код из дерева таким образом, что операции, происходящие на самом низком уровне иерархии, выполняются первыми

Примеры:

• !A + !B интерпретируется как (!A) + (!B)
• ++A + !B интерпретируется как (++A) + (!B)
• A + B * C интерпретируется как A + (B * C)
• A || B && C интерпретируется как A || (B && C)
• A && B == C интерпретируется как A && (B == C)
• A & B == C интерпретируется как A & (B == C)

(В Python , Ruby , PARI/GP и других популярных языках A & B == C интерпретируется как (A & B) == C.)

Компиляторам исходного кода , которые компилируются на несколько языков, необходимо явно решать проблему различного порядка операций на разных языках. Например, Haxe стандартизирует порядок и обеспечивает его соблюдение, вставляя скобки там, где это необходимо.

Было обнаружено, что точность знаний разработчика программного обеспечения о приоритете двоичных операторов тесно связана с частотой их появления в исходном коде.

См. также

• Общие обозначения операторов (для более формального описания)
• Гипероперация
• Логическая связка # Порядок старшинства
• Ассоциативность оператора
• Перегрузка оператора
• Приоритет операторов в C и C++
• Польские обозначения
• Обратная польская запись

Дальнейшее чтение

• Фоте, Майкл; Уилке, Томас, ред. (2015). Подвал, стек и автоматическая память – структура с потенциалом [ Подвал, стек и автоматическая память – структура с потенциалом ] (PDF) . Коллоквиум 14 ноября 2014 г. в Йене, Германия (на немецком языке). Бонн: Общество информатики. ISBN  978-3-88579-426-4 .

Внешние ссылки

• Бергман, Джордж Марк (2013). «Порядок арифметических операций; в частности, вопрос 48/2(9+3)» . Кафедра математики Калифорнийского университета . Проверено 22 июля 2020 г.
• Закари, Джозеф Л. (1997) «Приоритет операторов», дополнение к «Введению в научное программирование» . Университет Юты. Рабочий лист Maple , блокнот Mathematica .