Символы группировки

В математике и смежных предметах понимание математического выражения зависит от понимания символов группировки, таких как круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки {}. (см. примечание к терминологии ниже). Эти же символы используются и в тех случаях, когда они не являются символами группировки. Например, в выражении 3(x+y) круглые скобки являются символами группировки, а в выражении (3, 5) скобки могут обозначать открытый интервал .

Наиболее распространенными символами группировки являются круглые и квадратные скобки, последние обычно используются, чтобы избежать слишком большого количества повторяющихся скобок. Например, для обозначения произведения биномов обычно используются круглые скобки, например: $(2x+3)(3x+4)$. Но если один из биномов сам содержит круглые скобки, как в $(2(a+b)+3)$ одну или несколько пар () можно заменить на [], таким образом: $[(2(a+b)+3][3x+4]$. Помимо элементарной математики, [] в основном используются для других целей, например, для обозначения замкнутого интервала или класса эквивалентности , поэтому они редко используются для группировки.

Использование слова «скобки» варьируется в зависимости от страны. В Соединенных Штатах этот термин обозначает [], известный в других странах как «квадратные скобки». В Великобритании и многих других англоязычных странах «скобки» означают (), известные в США как «круглые скобки» (единственное число «круглые скобки»). Тем не менее, специальные термины «круглые скобки» и «квадратные скобки» обычно понимаются повсюду и могут использоваться во избежание двусмысленности.

Символ группировки, известный как «скобки», имеет два основных применения. Если используются два таких символа, один слева и его зеркальное отражение справа, это почти всегда указывает на набор , как в $\{a,b,c\}$, набор, содержащий три члена, $a$, $b$, и $c$. Но если он используется только слева, он группирует два или более одновременных уравнения.

Есть и другие символы группировки. Одним из них является полоса над выражением, как в знаке квадратного корня, в котором полоса является символом группировки. Например, √ p + q — это квадратный корень из суммы. Полоса также является символом группировки повторяющихся десятичных цифр. Десятичная точка, за которой следует одна или несколько цифр с чертой над ними, например 0,123 , представляет собой повторяющуюся десятичную дробь 0,123123123... .

Надстрочный индекс считается сгруппированным, пока он продолжается в форме верхнего индекса. Например, если x имеет верхний индекс в форме a + b , сумма является показателем степени. Например: х ^{2 + 3} , подразумевается, что 2+3 сгруппированы и что показатель степени представляет собой сумму 2 и 3.

Эти правила понятны всем математикам.

Ассоциативный закон

В большинстве математических операций операции сложения и умножения ассоциативны .

Например, ассоциативный закон сложения гласит, что $(a+b)+c=a+(b+c)$. Это означает, что после формулировки ассоциативного закона скобки не нужны и обычно опускаются. В более общем смысле любая сумма любого количества слагаемых может быть записана без скобок, а любое произведение любого количества факторов может быть записано без скобок.

Иерархия операций

«Иерархия операций», также называемая « порядком операций », представляет собой правило, позволяющее избежать чрезмерного количества символов группировки. В простейшей форме, если число имеет знак плюса с одной стороны и знак умножения с другой стороны, сначала действует умножение. Если бы мы выразили эту идею, используя символы группировки, факторы продукта. Пример: 2+3×4 = 2 +(3×4)=2+12=14.

При понимании выражений без символов группировки полезно думать о вычитании как о сложении противоположного, а о делении как об умножении на обратное.