Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство
	Визуальный граф, представляющий ассоциативные операции;
Тип	Закон , правило замены
Поле	Элементарная алгебра ; Булева алгебра ; Теория множеств ; Линейная алгебра ; Пропозициональное исчисление ;
Символическое заявление	Элементарная алгебра ; Пропозициональное исчисление ;

В математике ассоциативное свойство ^[1]является свойством некоторых бинарных операций , а это означает, что перестановка круглых скобок в выражении не изменит результат. В логике высказываний ассоциативность является действующим правилом замены выражений . в логических доказательствах

В выражении, содержащем два или более вхождений подряд одного и того же ассоциативного оператора, порядок выполнения операций не имеет значения, пока последовательность операндов не изменяется. То есть (после переписывания выражения в скобках и при необходимости в инфиксной записи) перестановка скобок в таком выражении не изменит его значения. Рассмотрим следующие уравнения:

{\begin{aligned}(2+3)+4&=2+(3+4)=9\,\\2\times (3\times 4)&=(2\times 3)\times 4=24.\end{aligned}}

Несмотря на то, что круглые скобки в каждой строке были переставлены, значения выражений не изменились. Поскольку это справедливо при выполнении сложения и умножения любых действительных чисел , можно сказать, что «сложение и умножение действительных чисел являются ассоциативными операциями».

Ассоциативность — это не то же самое, что коммутативность , которая определяет, влияет ли порядок двух операндов на результат. Например, порядок не имеет значения при умножении действительных чисел, то есть $a \times b = b \times a$ , поэтому мы говорим, что умножение действительных чисел является коммутативной операцией. Однако такие операции, как композиция функций и умножение матриц, являются ассоциативными, но (обычно) не коммутативными.

Ассоциативные операции широко распространены в математике; Фактически, многие алгебраические структуры (такие как полугруппы и категории ) явно требуют, чтобы их бинарные операции были ассоциативными.

Однако многие важные и интересные операции неассоциативны; некоторые примеры включают вычитание , возведение в степень и векторное произведение . В отличие от теоретических свойств действительных чисел, добавление чисел с плавающей запятой в информатике не является ассоциативным, и выбор того, как связать выражение, может существенно повлиять на ошибку округления.

Определение [ править ]

Формально бинарная операция $*$ на множестве $S$ называется ассоциативной , если она удовлетворяет закону ассоциативности :

(Икс * y) * z знак равно Икс * (y * z)

для всех

x

,

y

,

z

в

S

.

Здесь * используется для замены символа операции, которым может быть любой символ и даже отсутствие символа ( сопоставление ), как при умножении .

(Икс y) z знак равно Икс (y z) знак равно Икс y z

для всех

x

,

y

,

z

в

S

.

Ассоциативный закон также можно выразить в функциональной записи следующим образом: $f (f (x, y), z) = f (x, f (y, z))$ .

ассоциативный закон Обобщенный

Если бинарная операция является ассоциативной, ее повторное применение дает один и тот же результат независимо от того, какие допустимые пары круглых скобок вставлены в выражение. ^[2] Это называется обобщенным ассоциативным законом .

Количество возможных заключений в скобки — это число каталанское $C n$ для n операций над n+1 значениями. Например, произведение 3 операций над 4 элементами можно записать (игнорируя перестановки аргументов) в $C 3 = 5$ возможных способов:

$((а б) в) d$
$(а б)(в г)$
$(а (б в)) d$
$а ((б в) d)$
$а (б (в г))$

Если операция произведения ассоциативна, обобщенный ассоциативный закон гласит, что все эти выражения дадут один и тот же результат. Таким образом, если выражение с опущенными круглыми скобками уже не имеет другого значения (см. ниже), круглые скобки можно считать ненужными, а «продукт» можно однозначно записать как

а б в г

.

По мере увеличения количества элементов количество возможных способов вставки скобок быстро растет, но они остаются ненужными для устранения неоднозначности.

Примером, когда это не работает, является логическое бикондиционал $\leftrightarrow$ . Это ассоциативно; таким образом, $A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C)$ эквивалентно $(A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C$ , но $A \leftrightarrow B \leftrightarrow C$ чаще всего означает $(A \leftrightarrow B) и (B \leftrightarrow C)$ , что не эквивалентно.

Примеры [ править ]

Некоторые примеры ассоциативных операций включают следующее.

Объединение строк трех "hello", " ", "world" можно вычислить путем объединения первых двух строк (давая "hello ") и добавление третьей строки ( "world"), или соединив вторую и третью строку (давая " world") и объединение первой строки ( "hello") с результатом. Оба метода дают один и тот же результат; конкатенация строк ассоциативна (но не коммутативна).
В арифметике сложение умножение и чисел действительных ; ассоциативны то есть,
$\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} .$
Из-за ассоциативности группирующие круглые скобки можно без двусмысленности опустить.
Тривиальная операция $x * y = x$ (т. е. результатом является первый аргумент, независимо от того, каким является второй аргумент) ассоциативна, но не коммутативна. Аналогично, тривиальная операция $x \circ y = y$ (то есть результатом является второй аргумент, независимо от того, каким является первый аргумент) является ассоциативной, но не коммутативной.
Сложение и умножение комплексных чисел и кватернионов ассоциативны. Сложение октонионов также ассоциативно, но умножение октонионов неассоциативно.
Наибольший общий делитель и наименее общие кратные функции действуют ассоциативно. $\left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ for all }}x,y,z\in \mathbb {Z} .$
Взяв пересечение или объединение множеств : $\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{for all sets }}A,B,C.$
Если $M$ — некоторое множество, а $S$ обозначает множество всех функций от $M$ до $M$ , то операция композиции функций на $S$ ассоциативна: $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{for all }}f,g,h\in S.$
В более общем смысле, учитывая четыре набора $M$ , $N$ , $P$ и $Q$ , с $h : M \to N$ , $g : N \to P$ и $f : P \to Q$ , тогда $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$ как прежде. Короче говоря, композиция карт всегда ассоциативна.
В теории категорий композиция морфизмов ассоциативна по определению. Ассоциативность функторов и естественных преобразований следует из ассоциативности морфизмов.
Рассмотрим набор из трех элементов $A$ , $B$ и $C.$ : Следующая операция:

× $А$ $Б$ $С$

$А$ $А$ $А$ $А$

$Б$ $А$ $Б$ $С$

$С$ $А$ $А$ $А$
является ассоциативным. Так, например, $A (B C) = (A B) C = A$ . Эта операция не является коммутативной.
Поскольку матрицы представляют собой линейные функции , а умножение матриц представляет композицию функций, можно сразу заключить, что умножение матриц ассоциативно. ^[3]
Для действительных чисел (и для любого полностью упорядоченного набора ) операция минимума и максимума ассоциативна: $\max(a,\max(b,c))=\max(\max(a,b),c)\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\min(b,c))=\min(\min(a,b),c).$

Пропозициональная логика [ править ]

Правило замены [ править ]

В стандартной истинностно-функциональной пропозициональной логике ассоциация , ^[4]^[5] или ассоциативность ^[6]два действительных правила замены . Правила позволяют передвигать скобки в логических выражениях в логических доказательствах . Правила (с использованием обозначения логических связок ):

(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)

и

(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),

где " $\Leftrightarrow$ «является металогическим символом , обозначающим «можно заменить в доказательстве на».

Истинные функциональные связки [ править ]

Ассоциативность — это свойство некоторых логических связок истинностно-функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что ассоциативность является свойством определенных связок. Следующие ниже (и их обратные, поскольку $\leftrightarrow$ коммутативен) являются истинностно-функциональными тавтологиями . ^{[ нужна цитата ]}

Ассоциативность дизъюнкции: $((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))$
Ассоциативность союза: $((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))$
Ассоциативность эквивалентности: $((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))$

Совместное отрицание является примером функциональной связки истины, которая не является ассоциативной.

Неассоциативная операция [ править ]

Бинарная операция $*$ на множестве S , не удовлетворяющем закону ассоциативности, называется неассоциативным . Символически,

(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{for some }}x,y,z\in S.

Для такой операции порядок вычислений имеет значение. Например:

Вычитание: $(5-3)-2\,\neq \,5-(3-2)$
Разделение: $(4/2)/2\,\neq \,4/(2/2)$
Возведение в степень: $2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}$
Векторное векторное произведение: ${\begin{aligned}\mathbf {i} \times (\mathbf {i} \times \mathbf {j} )&=\mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} \\(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )\times \mathbf {j} &=\mathbf {0} \times \mathbf {j} =\mathbf {0} \end{aligned}}$

Кроме того, хотя сложение ассоциативно для конечных сумм, оно не ассоциативно внутри бесконечных сумм ( рядов ). Например,

(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots =0

тогда как

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =1.

Некоторые неассоциативные операции имеют фундаментальное значение в математике. Они часто появляются как умножение в структурах, называемых неассоциативными алгебрами , которые также имеют сложение и скалярное умножение . Примерами являются октонионы и алгебры Ли . В алгебрах Ли умножение удовлетворяет тождеству Якоби вместо ассоциативного закона; это позволяет абстрагировать алгебраическую природу бесконечно малых преобразований .

Другими примерами являются квазигруппа , квазиполе , неассоциативное кольцо и коммутативная неассоциативная магма .

Неассоциативность вычислений с плавающей запятой [ править ]

В математике сложение и умножение действительных чисел ассоциативно. Напротив, в информатике сложение и умножение с плавающей запятой чисел не является ассоциативным, поскольку могут возникать разные ошибки округления, когда значения разного размера соединяются вместе в разном порядке. ^[7]

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим представление с плавающей запятой с 4-битным мантиссом :

(1.000 ₂×2 ⁰ + 1.000 ₂×2 ⁰) + 1.000 ₂×2 ⁴ = 1.000 ₂×2 ¹ + 1.000 ₂×2 ⁴ = 1.00 1 ₂×2 ⁴

1.000 ₂×2 ⁰ + (1.000 ₂×2 ⁰ + 1.000 ₂×2 ⁴) = 1.000 ₂×2 ⁰ + 1.000 ₂×2 ⁴ = 1.00 0 ₂×2 ⁴

Несмотря на то, что большинство компьютеров используют 24 или 53 бита мантиссы, ^[8]это по-прежнему является важным источником ошибок округления, и такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана, являются способами минимизировать ошибки. Это может быть особенно проблематично при параллельных вычислениях. ^[9]^[10]

Обозначение неассоциативных операций [ править ]

В общем, круглые скобки должны использоваться для указания порядка вычисления , если неассоциативная операция встречается в выражении более одного раза (если только запись не определяет порядок другим способом, например ${\dfrac {2}{3/4}}$ ). Однако математики договорились об определенном порядке вычисления некоторых распространенных неассоциативных операций. Это просто соглашение об обозначениях, позволяющее избежать круглых скобок.

Левоассоциативная . операция — это неассоциативная операция, которая традиционно вычисляется слева направо, т. е

\left.{\begin{array}{l}a*b*c=(a*b)*c\\a*b*c*d=((a*b)*c)*d\\a*b*c*d*e=(((a*b)*c)*d)*e\quad \\{\mbox{etc.}}\end{array}}\right\}{\mbox{for all }}a,b,c,d,e\in S

тогда как правоассоциативная операция традиционно оценивается справа налево:

\left.{\begin{array}{l}x*y*z=x*(y*z)\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\v*w*x*y*z=v*(w*(x*(y*z)))\quad \\{\mbox{etc.}}\end{array}}\right\}{\mbox{for all }}z,y,x,w,v\in S

Встречаются как левоассоциативные, так и правоассоциативные операции. К левоассоциативным операциям относятся следующие:

Вычитание и деление действительных чисел ^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]: $x-y-z=(x-y)-z$; $x/y/z=(x/y)/z$
Применение функции: $(f\,x\,y)=((f\,x)\,y)$

Это обозначение может быть мотивировано изоморфизмом каррирования , который допускает частичное применение.

К правоассоциативным операциям относятся следующие:

Возведение действительных чисел в степень в надстрочной записи: $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$
Возведение в степень обычно используется в скобках или в правой ассоциативной связи, поскольку повторная операция левого ассоциативного возведения в степень малопригодна. Повторяющиеся степени в основном переписывались с помощью умножения:; $(x^{y})^{z}=x^{(yz)}$
При правильном форматировании верхний индекс по своей сути ведет себя как набор круглых скобок; например, в выражении $2^{x+3}$ сложение выполняется перед возведением в степень, несмотря на отсутствие явных круглых скобок $2^{(x+3)}$ обернулся вокруг него. Таким образом, учитывая такое выражение, как $x^{y^{z}}$ , полный показатель $y^{z}$ базы $x$ оценивается в первую очередь. Однако в некоторых контекстах, особенно в почерке, разница между ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$ , $x^{yz}=x^{(yz)}$ и $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ может быть трудно увидеть. В таком случае обычно подразумевается правая ассоциативность.
Определение функции: $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )$; $x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)$
Использование правоассоциативных обозначений для этих операций может быть мотивировано соответствием Карри – Ховарда и изоморфизмом карри .

К неассоциативным операциям, для которых не определен традиционный порядок вычислений, относятся следующие.

Возведение в степень действительных чисел в инфиксной записи ^[16]: $(x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z)$
Операторы со стрелкой вверх Кнута: $a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c$; $a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c$
Взяв векторное произведение трех векторов: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ for some }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}$
Взяв попарное среднее действительных чисел: ${(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}x\neq z.$
Взяв относительное дополнение множеств: $(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$ .
(Сравните материальную неимпликацию в логике.)

История [ править ]

Уильям Роуэн Гамильтон, кажется, ввёл термин «ассоциативное свойство». ^[17] около 1844 года, когда он размышлял о неассоциативной алгебре октонионов, о которой он узнал от Джона Т. Грейвса . ^[18]

См. также [ править ]

Тест на ассоциативность Лайта
Телескопический ряд , использование дополнительной ассоциативности для сокращения членов бесконечного ряда.
Полугруппа — это множество с ассоциативной бинарной операцией.
Коммутативность и дистрибутивность — два других часто обсуждаемых свойства бинарных операций.
Степенная ассоциативность , альтернативность , гибкость и N-арная ассоциативность являются слабыми формами ассоциативности.
Личности Муфанг также обеспечивают слабую форму ассоциативности.

Ссылки [ править ]

^ Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра (1-е изд.). Спрингер . п. 24. ISBN 978-0387905181 . Определение 1.1 (i) a(bc) = (ab)c для всех a, b, c в G.
^ Дурбин, Джон Р. (1992). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 78. ИСБН 978-0-471-51001-7 . Если $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)$ являются элементами множества с ассоциативной операцией, то произведение $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ является однозначным; то есть один и тот же элемент будет получен независимо от того, как в произведении вставлены скобки.
^ «Ассоциативность матричного произведения» . Ханская академия . Проверено 5 июня 2016 г.
^ Мур, Брук Ноэль; Паркер, Ричард (2017). Критическое мышление (12-е изд.). Нью-Йорк: Образование Макгроу-Хилл. п. 321. ИСБН 9781259690877 .
^ Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл; МакМахон, Кеннет (2014). Введение в логику (14-е изд.). Эссекс: Pearson Education. п. 387. ИСБН 9781292024820 .
^ Херли, Патрик Дж.; Уотсон, Лори (2016). Краткое введение в логику (13-е изд.). Бостон: Cengage Learning. п. 427. ИСБН 9781305958098 .
^ Кнут, Дональд, Искусство компьютерного программирования , Том 3, раздел 4.2.2
^ Компьютерное общество IEEE (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . дои : 10.1109/IEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5753-5 . Стандарт IEEE 754-2008.
^ Вилла, Оресте; Чаваррия-мир, Даниэль; Гурумурти, Видья; Маркес, Андрес; Кришнамурти, Шрирам, Эффекты неассоциативности с плавающей запятой на числовые вычисления в многопоточных системах (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2013 г. , получено 8 апреля 2014 г.
^ Гольдберг, Дэвид (март 1991 г.). «Что должен знать каждый ученый-компьютерщик об арифметике с плавающей запятой» (PDF) . Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (1): 5–48. дои : 10.1145/103162.103163 . S2CID 222008826 . Архивировано (PDF) из оригинала 19 мая 2022 г. Проверено 20 января 2016 г.
^ Джордж Марк Бергман «Порядок арифметических операций»
^ «Порядок действий» . Место образования.
^ «Порядок действий» , временная метка 5м40с . Ханская академия .
^ «Использование порядка операций и исследование свойств». Архивировано 16 июля 2022 г. в Wayback Machine , раздел 9. Департамент образования Вирджинии.
^ Бронштейн, де: Справочник по математике , страницы 115-120, глава: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
^ Ассоциативность возведения в степень и стандартная математическая запись Codeplea. 23 августа 2016 г. Проверено 20 сентября 2016 г.
^ Гамильтон, WR (1844–1850). «О кватернионах или новая система воображаемых в алгебре» . Коллекция Дэвида Р. Уилкинса. Философский журнал . Тринити-колледж в Дублине .
^ Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ISSN 0273-0979 . МР 1886087 . S2CID 586512 .

[1] Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра (1-е изд.). Спрингер . п. 24. ISBN 978-0387905181 . Определение 1.1 (i) a(bc) = (ab)c для всех a, b, c в G.

[2] Дурбин, Джон Р. (1992). Современная алгебра: введение (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 78. ИСБН 978-0-471-51001-7 . Если $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)$ являются элементами множества с ассоциативной операцией, то произведение $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ является однозначным; то есть один и тот же элемент будет получен независимо от того, как в произведении вставлены скобки.

[3] «Ассоциативность матричного произведения» . Ханская академия . Проверено 5 июня 2016 г.

[4] Мур, Брук Ноэль; Паркер, Ричард (2017). Критическое мышление (12-е изд.). Нью-Йорк: Образование Макгроу-Хилл. п. 321. ИСБН 9781259690877 .

[5] Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл; МакМахон, Кеннет (2014). Введение в логику (14-е изд.). Эссекс: Pearson Education. п. 387. ИСБН 9781292024820 .

[6] Херли, Патрик Дж.; Уотсон, Лори (2016). Краткое введение в логику (13-е изд.). Бостон: Cengage Learning. п. 427. ИСБН 9781305958098 .

[7] Кнут, Дональд, Искусство компьютерного программирования , Том 3, раздел 4.2.2

[8] Компьютерное общество IEEE (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . дои : 10.1109/IEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5753-5 . Стандарт IEEE 754-2008.

[9] Вилла, Оресте; Чаваррия-мир, Даниэль; Гурумурти, Видья; Маркес, Андрес; Кришнамурти, Шрирам, Эффекты неассоциативности с плавающей запятой на числовые вычисления в многопоточных системах (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2013 г. , получено 8 апреля 2014 г.

[Goldberg_1991-10] Гольдберг, Дэвид (март 1991 г.). «Что должен знать каждый ученый-компьютерщик об арифметике с плавающей запятой» (PDF) . Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (1): 5–48. дои : 10.1145/103162.103163 . S2CID 222008826 . Архивировано (PDF) из оригинала 19 мая 2022 г. Проверено 20 января 2016 г.

[11] Джордж Марк Бергман «Порядок арифметических операций»

[12] «Порядок действий» . Место образования.

[13] «Порядок действий» , временная метка 5м40с . Ханская академия .

[14] «Использование порядка операций и исследование свойств». Архивировано 16 июля 2022 г. в Wayback Machine , раздел 9. Департамент образования Вирджинии.

[Bronstein_1987-15] Бронштейн, де: Справочник по математике , страницы 115-120, глава: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3

[Codeplea_2016-16] Ассоциативность возведения в степень и стандартная математическая запись Codeplea. 23 августа 2016 г. Проверено 20 сентября 2016 г.

[Hamilton-17] Гамильтон, WR (1844–1850). «О кватернионах или новая система воображаемых в алгебре» . Коллекция Дэвида Р. Уилкинса. Философский журнал . Тринити-колледж в Дублине .

[Baez-18] Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ISSN 0273-0979 . МР 1886087 . S2CID 586512 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

×	$А$	$Б$	$С$
$А$	$А$	$А$	$А$
$Б$	$А$	$Б$	$С$
$С$	$А$	$А$	$А$