Коммутативная магма

В математике существуют магмы , которые являются коммутативными , но не ассоциативными . Простой пример такой магмы можно получить из детской игры « камень, ножницы, бумага» . Такие магмы порождают неассоциативные алгебры .

Магма, которая одновременно коммутативна и ассоциативна, является коммутативной полугруппой .

Пример: камень, бумага, ножницы [ править ]

В игре «камень-ножницы-бумага» пусть $M:=\{r,p,s\}$ , обозначающие жесты «камень», «бумага» и «ножницы» соответственно, и рассмотрим бинарную операцию $\cdot :M\times M\to M$ вытекает из правил игры следующим образом: ^[1]

Для всех

x,y\in M

:

Если $x\neq y$ и $x$ бьет $y$ в игре, тогда $x\cdot y=y\cdot x=x$
$x\cdot x=x$ т.е. каждый $x$ является идемпотентным .

Так что, например:

$r\cdot p=p\cdot r=p$ «бумага побеждает камень»;
$s\cdot s=s$ «ножницы галстук с ножницами».

В результате получается таблица Кэли : ^[1]

{\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}

По определению, магма $(M,\cdot )$ коммутативен, но также и неассоциативен, ^[2] как показано:

r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r

но

(r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s

т.е.

r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s

Это простейшая некоммутативная магма, которая консервативна в том смысле, что результатом любой операции с магмой является одно из двух значений, заданных в качестве аргументов операции. ^[2]

Приложения [ править ]

Среднее арифметическое и обобщенные средние числа или величин более высокой размерности, такие как средние Фреше , часто являются коммутативными, но неассоциативными. ^[3]

Коммутативная, но неассоциативная магма может использоваться для анализа генетической рекомбинации . ^[4]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Атен, Шарлотта (2020), «Многопользовательский камень-ножницы-бумага», Algebra Universalis , 81 (3): Статья № 40, 31, arXiv : 1903.07252 , doi : 10.1007/s00012-020-00667-5 , MR 4123817
^ Перейти обратно: ^а ^б Бодри, Мартин; Дубе, Дэнни; Дюбе, Максим; Латендресс, Марио; Тессон, Паскаль (2014), «Консервативные группоиды распознают только обычные языки», Information and Computation , 239 : 13–28, doi : 10.1016/j.ic.2014.08.005 , MR 3281897
^ Гинесте, Седрик Э.; Симмонс, Эндрю; Колачик, Эрик Д. (2012), «Взвешенные средства Фреше как выпуклые комбинации в метрических пространствах: свойства и обобщенные медианные неравенства», «Statistics & Probability Letters» , 82 (10): 1859–1863, arXiv : 1204.2194 , doi : 10.1016/j .спл.2012.06.001 , МР 2956628
^ Этерингтон, IMH (1941), «Неассоциативная алгебра и символика генетики», Труды Эдинбургского королевского общества, Раздел B: Биология , 61 (1): 24–42, doi : 10.1017/s0080455x00011334

[mrps-1] Перейти обратно: ^а ^б Атен, Шарлотта (2020), «Многопользовательский камень-ножницы-бумага», Algebra Universalis , 81 (3): Статья № 40, 31, arXiv : 1903.07252 , doi : 10.1007/s00012-020-00667-5 , MR 4123817

[cg-2] Перейти обратно: ^а ^б Бодри, Мартин; Дубе, Дэнни; Дюбе, Максим; Латендресс, Марио; Тессон, Паскаль (2014), «Консервативные группоиды распознают только обычные языки», Information and Computation , 239 : 13–28, doi : 10.1016/j.ic.2014.08.005 , MR 3281897

[3] Гинесте, Седрик Э.; Симмонс, Эндрю; Колачик, Эрик Д. (2012), «Взвешенные средства Фреше как выпуклые комбинации в метрических пространствах: свойства и обобщенные медианные неравенства», «Statistics & Probability Letters» , 82 (10): 1859–1863, arXiv : 1204.2194 , doi : 10.1016/j .спл.2012.06.001 , МР 2956628

[4] Этерингтон, IMH (1941), «Неассоциативная алгебра и символика генетики», Труды Эдинбургского королевского общества, Раздел B: Биология , 61 (1): 24–42, doi : 10.1017/s0080455x00011334

[1]

[2]

[3]

[4]