Коммутативная магма
В математике существуют магмы , которые являются коммутативными , но не ассоциативными . Простой пример такой магмы можно получить из детской игры « камень, ножницы, бумага» . Такие магмы порождают неассоциативные алгебры .
Магма, которая одновременно коммутативна и ассоциативна, является коммутативной полугруппой .
Пример: камень, бумага, ножницы [ править ]
В игре «камень-ножницы-бумага» пусть , обозначающие жесты «камень», «бумага» и «ножницы» соответственно, и рассмотрим бинарную операцию вытекает из правил игры следующим образом: [1]
- Для всех :
- Если и бьет в игре, тогда
- т.е. каждый является идемпотентным .
- Так что, например:
- «бумага побеждает камень»;
- «ножницы галстук с ножницами».
В результате получается таблица Кэли : [1]
По определению, магма коммутативен, но также и неассоциативен, [2] как показано:
но
т.е.
Это простейшая некоммутативная магма, которая консервативна в том смысле, что результатом любой операции с магмой является одно из двух значений, заданных в качестве аргументов операции. [2]
Приложения [ править ]
Среднее арифметическое и обобщенные средние числа или величин более высокой размерности, такие как средние Фреше , часто являются коммутативными, но неассоциативными. [3]
Коммутативная, но неассоциативная магма может использоваться для анализа генетической рекомбинации . [4]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Атен, Шарлотта (2020), «Многопользовательский камень-ножницы-бумага», Algebra Universalis , 81 (3): Статья № 40, 31, arXiv : 1903.07252 , doi : 10.1007/s00012-020-00667-5 , MR 4123817
- ^ Перейти обратно: а б Бодри, Мартин; Дюбе, Дэнни; Дюбе, Максим; Латендресс, Марио; Тессон, Паскаль (2014), «Консервативные группоиды распознают только обычные языки», Information and Computation , 239 : 13–28, doi : 10.1016/j.ic.2014.08.005 , MR 3281897
- ^ Гинесте, Седрик Э.; Симмонс, Эндрю; Колачик, Эрик Д. (2012), «Взвешенные средства Фреше как выпуклые комбинации в метрических пространствах: свойства и обобщенные медианные неравенства», «Statistics & Probability Letters» , 82 (10): 1859–1863, arXiv : 1204.2194 , doi : 10.1016/j .спл.2012.06.001 , МР 2956628
- ^ Этерингтон, IMH (1941), «Неассоциативная алгебра и символика генетики», Труды Эдинбургского королевского общества, Раздел B: Биология , 61 (1): 24–42, doi : 10.1017/s0080455x00011334