Математические обозначения

Математическая запись состоит из использования символов для представления операций , неопределенных чисел , отношений и любых других математических объектов и объединения их в выражения и формулы . Математические обозначения широко используются в математике , науке и технике для представления сложных понятий и свойств кратким, однозначным и точным способом.

Например, Альберта Эйнштейна уравнение $E=mc^{2}$ – количественное представление в математической записи эквивалентности массы и энергии .

Математическая нотация была впервые введена Франсуа Вьетом в конце 16 века и значительно расширена в 17 и 18 веках Рене Декартом , Исааком Ньютоном , Готфридом Вильгельмом Лейбницем и в целом Леонардом Эйлером .

Символы

Использование множества символов является основой математической записи. Они играют ту же роль, что и слова в естественных языках . Они могут играть разные роли в математической записи, подобно тому, как глаголы, прилагательные и существительные играют разные роли в предложении.

Буквы как символы

Буквы обычно используются для обозначения — на математическом жаргоне , так сказать, обозначения — математических объектов . Латинский еврейского и греческий алфавиты используются широко, но некоторые буквы других алфавитов также используются спорадически, например, ⁠ . $\aleph$ ⁠ , кириллица $Ø$ и хирагана $よ$ . Прописные и строчные буквы считаются разными символами. Для латинского алфавита разные шрифты также содержат разные символы. Например, $r,R,\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},$ и ${\mathfrak {R}}$ теоретически может появиться в одном и том же математическом тексте в шести разных значениях. Обычно вертикальный римский шрифт не используется для символов, за исключением символов, представляющих стандартную функцию, таких как символ « $\sin$ " функции синуса . ^[1]

Чтобы иметь больше символов и чтобы связанные математические объекты могли быть представлены связанными символами, диакритические , нижние и верхние индексы часто используются . Например, ${\hat {f'_{1}}}$ обозначать преобразование Фурье производной , функции может называемой $f_{1}.$

Другие символы

Символы используются не только для обозначения математических объектов. Их можно использовать для операций $(+,-,/,\oplus ,\ldots ),$ для отношений $(=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),$ для логических связок $(\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),$ для кванторов $(\forall ,\exists ),$ и для других целей.

Некоторые символы похожи на латинские или греческие буквы, некоторые получены путем деформации букв, некоторые являются традиционными типографскими символами , но многие были специально разработаны для математики.

Выражения

Выражение — это конечная комбинация символов , которая правильно сформирована в соответствии с правилами, зависящими от контекста. В общем, выражение обозначает или называет математический объект и поэтому играет на языке математики роль именной группы в естественном языке.

Выражение часто содержит несколько операторов и поэтому может быть оценено по действию операторов в нем. Например, $3+2$ это выражение, в котором оператор $+$ можно оценить на предмет получения результата $5.$ Так, $3+2$ и $5$ это два разных выражения, которые представляют одно и то же число. В этом смысл равенства $3+2=5.$

Более сложный пример даёт выражение ${\textstyle \int _{a}^{b}xdx}$ которое можно оценить как ${\textstyle {\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}.}$ Хотя полученное выражение содержит операторы деления , вычитания и возведения в степень , его нельзя вычислить дальше, поскольку $a$ и $b$ обозначают неуказанные числа.

История

Числа

Считается, что обозначения для обозначения чисел были впервые разработаны не менее 50 000 лет назад. ^[2]— ранние математические идеи, такие как подсчет пальцев ^[3] также представлены коллекциями камней, палок, костей, глины, камня, резьбы по дереву и узловатых веревок. Счётная палочка — способ счёта, восходящий к верхнему палеолиту . Возможно, самые древние из известных математических текстов принадлежат древнему Шумеру . В переписи кипу в Андах и в кости Ишанго из Африки подсчета для учета числовых концепций использовался метод .

Понятие нуля и введение для него обозначения являются важными достижениями ранней математики, которая на протяжении веков предшествовала концепции нуля как числа. Оно использовалось в качестве заполнителя вавилонянами и египтянами -греками , а затем как целое число майя историю , индийцами и арабами (см. нуля ).

Современные обозначения

До XVI века математика была по существу риторической , в том смысле, что все, кроме явных чисел, выражалось словами. Однако некоторые авторы, такие как Диофант, использовали некоторые символы в качестве сокращений.

Первое систематическое использование формул и, в частности, использование символов ( переменных ) для неуказанных чисел обычно приписывают Франсуа Вьету (16 век). Однако он использовал символы, отличные от тех, которые сейчас являются стандартными.

Позже Рене Декарт (17 век) ввел современные обозначения переменных и уравнений ; в частности, использование $x,y,z$ для неизвестных величин и $a,b,c$ для известных ( констант ). Он также ввел обозначение $i$ и термин «мнимая» для мнимой единицы .

В XVIII и XIX веках произошла стандартизация математической записи, используемой сегодня. Леонард Эйлер был ответственным за многие из используемых в настоящее время обозначений: функциональную запись. $f(x),$ $e$ для основания натурального логарифма, ${\textstyle \sum }$ для суммирования и т. д. ^[4] Он также популяризировал использование числа $π$ для постоянной Архимеда (предложенное Уильямом Джонсом на основе более ранних обозначений Уильяма Оттреда ). ^[5]

С тех пор было введено множество новых обозначений, часто специфичных для определенной области математики. Некоторые обозначения названы в честь их изобретателей, например , обозначения Лейбница , символ Лежандра , соглашение Эйнштейна о суммировании и т. д.

верстка

Общие системы набора текста обычно не очень подходят для математической записи. Одна из причин заключается в том, что в математической записи символы часто располагаются в виде двумерных фигур, например:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.

TeX — математически ориентированная система набора текста, созданная в 1978 году Дональдом Кнутом . Он широко используется в математике благодаря своему расширению под названием LaTeX и является стандартом де-факто . (Приведенное выше выражение написано в LaTeX.)

представил еще один подход к математическому набору текста Совсем недавно MathML . Однако он плохо поддерживается в веб-браузерах, что является его основной целью.

Международный стандарт математической записи

Международный стандарт ISO 80000-2 (ранее ISO 31-11 ) определяет символы для использования в математических уравнениях. Стандарт требует использования курсива для переменных (например, E = mc ²) и римские (вертикальные) шрифты для математических констант (например, e или π).

Математические обозначения, не основанные на латинице

Современная арабская математическая система обозначений основана главным образом на арабском алфавите и широко используется в арабском мире , особенно в довузовском образовании .

(В западной системе обозначений используются арабские цифры , но в арабской системе обозначений латинские буквы и связанные с ними символы также заменяются арабским шрифтом.)

Помимо арабской записи, в математике также используются греческие буквы для обозначения широкого спектра математических объектов и переменных. В некоторых случаях также используются определенные буквы иврита (например, в контексте бесконечных кардиналов ).

Некоторые математические обозначения в основном схематические и поэтому почти полностью независимы от алфавита. Примерами являются графические обозначения Пенроуза и диаграммы Кокстера-Динкина .

Математические обозначения на основе Брайля, используемые слепыми, включают Nemeth Braille и GS8 Braille .

См. также

Ссылки

^ ИСО 80000-2:2019
^ Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). п. 9. ISBN 978-0-03-029558-4 .
^ Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Перевод Беллоса, Дэвида; Хардинг, Э. Ф.; Вуд, Софи; Монк, Ян. Джон Уайли и сыновья . п. 48. ИСБН 0-471-39340-1 . (Примечание. Ифра подкрепляет свой тезис, цитируя идиоматические фразы из языков всего мира. Он отмечает, что люди научились считать на руках. Он показывает, например, изображение Боэция (который жил в 480–524 или 525 годах), считающего его пальцы.)
^ Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья . стр. 442–443. ISBN 978-0-471-54397-8 .
^ Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Издательство Спрингер . п. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4 .

Дальнейшее чтение

Флориан Каджори , История математических обозначений (1929), 2 тома. ISBN 0-486-67766-4
Мазур, Джозеф (2014), Просветляющие символы: краткая история математической записи и ее скрытых возможностей . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-15463-3

Внешние ссылки

Древнейшие варианты использования различных математических символов
Математическая нотация ASCII: как вводить математические обозначения в любом текстовом редакторе.
Математика как язык в Cut-the-Knot
Стивен Вольфрам : Математические обозначения: прошлое и будущее . Октябрь 2000 г. Стенограмма основного доклада, представленного на конференции MathML и Math в Интернете: Международная конференция MathML.

[1] ИСО 80000-2:2019

[Eves_1990-2] Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). п. 9. ISBN 978-0-03-029558-4 .

[Ifrah_2000-3] Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Перевод Беллоса, Дэвида; Хардинг, Э. Ф.; Вуд, Софи; Монк, Ян. Джон Уайли и сыновья . п. 48. ИСБН 0-471-39340-1 . (Примечание. Ифра подкрепляет свой тезис, цитируя идиоматические фразы из языков всего мира. Он отмечает, что люди научились считать на руках. Он показывает, например, изображение Боэция (который жил в 480–524 или 525 годах), считающего его пальцы.)

[Boyer-Merzbach_1991-4] Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья . стр. 442–443. ISBN 978-0-471-54397-8 .

[Arndt-Haenel_2006-5] Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Издательство Спрингер . п. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]